初中数学竞赛专题选讲《待定系数法》.doc

初中数学竞赛专题选讲待定系数法
一、内容提要
1. 多项式恒等的定义：设f(x)　和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.
符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.　例如：
（x+3）2=x2+6x+9, 　　　　　　5x2－6x+1=(5x－1)(x－1),
x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).
都是恒等式.
　根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.　例如：
已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).
求：①a+b+c ； 　　　②a－b+c.
解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4.
　　　　　②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.
2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
　　即 如果 a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=　b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn
那么 a0=b0 ， a1=b1， 　　…… ， an－1=bn－1 ， an=bn.
上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.
∴a=2, 　b=－2, 　c=－4.
∴a+b+c＝－4，　　 a－b+c＝0.
3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.
二、例题
例1. 已知：
求：A，B，C的值.
解：去分母，得
x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).
根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），
　　　　　　　当x=0时，　2＝－6A.　　∴A＝－.
当x=3时，　8＝15B.　　　∴B＝.
当x=－2时，　8＝10C.　　　∴C＝.
本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.
例2. 把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.
解：用待定系数法：
设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d
把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），
得　　　x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a
　　　　+bx2－2bx+b
　　　　　+cx－c
　　　　　+d
用恒等式的性质，比较同类项系数，
得 　　解这个方程组，得
∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.
本题也可用换元法：　　
设x－1=y, 　那么x=y+1.
把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1.
例3. 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.
求： a和b的值.
解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2　（设待定的系数，要尽可能少.）
右边展开，合并同类项，得
　4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.
比较左右两边同类项系数，得
方程组；　 或.
解得.
例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.
解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,　x2,　x3.
原方程化为x3+.
∵x1,　x2,　x3是方程的三个根.
∴x3+(x－x1) (x－x2) (x－x3).
把右边展开，合并同类项，得
x3+=x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.
比较左右同类项的系数，得
一元三次方程根与系数的关系是：
x1+x2+x3=－，　x1x2+x1x3+x2x3＝，　x1x2x3＝－.

例5. 已知：x3+px+q 能被（x－a）2　　整除.
求证：4p3+27q2=0.
证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.
x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.

　由①得b=2a，　代入②和③得　　
　　　　∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2
=4×（－27a6）+27×（4a6）=0.　（证毕）.
例6. 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5
的因式.
求：f (1)的值.
解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.
为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k为正整数).
即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c)
　　　　　　　　14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c)
∴k=14,　 b=－2, 　　c=5.
即f (x)=x2－2x+5.　
∴f (1)=4 .
例7. 用待定系数法，求（x+y）5 的展开式
解：∵展开式是五次齐次对称式，
∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a,　b,　c是待定系数.)
　　　当　x=1,y=0时，　　得a=1；
当　x=1,y=1时，　　得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16
当　x=－1,y=2时，　　得31a－14b+4c=1.
得方程组
解方程组，得
∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.

三、练习51
1.　已知.　　求a,　b的值.
2.　已知：.　求：A，B，C的值.
3. 已知：　x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式.
求：这个代数式的算术平方根.
4. 已知：ax3+bx2+cx+d　能被x2+p整除.
求证：ad=bc.
5. 已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3)
=b(x－1)(x－2)(x－3)
　 =c(x－1)(x+1)(x－3)
=d(x－1)(x+1)(x－2).
求：a+b+c+d的值.
6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.
7. 用x－2的各次幂表示3x3－10x2+13.
8. k取什么值时，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解为两个一次因式..
9. 分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3；
②x4+1987x2+1986x+1987.
10. 求下列展开式：
① (x+y)6； 　　 ② (a+b+c)3.
11. 多项式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的结果是( )
　(A) (x+y)(y－z)(x－z) . (B) (x+y)(y+z)(x－z).
(C) (x－y)(y－z)(x+z). (D) (x－y)(y+z)(x+z).
12. 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,　若S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3.
则S等于( 　 )
(A) (x－2)4 . (B) (x－1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4.
　　　　 (1988年泉州市初二数学双基赛题)
13． 已知：的值是恒为常数求：a,　b,　c的值.

练习题参考答案
1. a=－,b=－ 　　
2.　 A=1,B=2,C=3 　　　
3.　 ± (x2－3x+2)
4.由 (x2+p)(ax+)… 　　
5. 1 　　　
7. 3(x－2)3+8(x－2)2－4(x－2)－3
8. 先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。
9. ①(x+y +1)(x+2y+3) 　②(x2+x+1)(x2－x+1987)
10.　　①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.
　　②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.
11. (A)
12.(C) 　　
13. a=1, b=1.5, c=－2.