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2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题一 函数与导数 第二讲 基本初等函数、函数与方程学案

2021届高考数学二轮总复习 层级二 专题一 函数与导数 第二讲 基本初等函数、函数与方程学案

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第二讲　基本初等函数、函数与方程

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．b<c<a
解析：选B　因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1,0<c＝0.20.3<1，
所以b>c>a.故选B．
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
解析：选A　因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.
3．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．
4．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析：选D　设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0.∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y，故选D．
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C　令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．

若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知
当直线y＝－x－a恰过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C．
 明 考 情 
1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．
2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．

考点一　基本初等函数的图象与性质
|多角探明|
命题角度一　基本初等函数的图象及应用
【例1】　(1)(2019·武汉华中师大附中诊断)已知函数f(x)＝则f(1－x)的大致图象是(　　)

(2)已知∀x∈，8x≤logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)画出函数f(x)＝的图象(图略)，可知f(1－x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x＝对称，利用对称性即可求得选项D正确．
(2)令f(x)＝8x，g(x)＝logax＋1，由当x∈时，f(x)≤g(x)恒成立知，当x∈时，f(x)的图象一定在g(x)的图象的下方，作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的大致图象，如图所示．

由图可知解得≤a<1.
[答案]　(1)D　(2)C
命题角度二　大小比较
【例2】　(1)(一题多解)已知实数a＝log23，b＝2，c＝log，则它们的大小关系为(　　)
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>c>a
(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则(　　)
A．a<b<c B．a<c<b
C．c<a<b D．c<b<a
[解析]　(1)解法一：由对数函数的性质知1<a＝log23<2，c＝log>log＝3>2，又b＝2＝<1，从而c>a>b.故选B．
解法二：作出函数f(x)＝log2x，g(x)＝x，h(x)＝logx的大致图象(图略)，由图象易知h>f(3)>g(2)，即c>a>b.故选B．
(2)函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，故f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0.所以c<a<b，故选C．
[答案]　(1)B　(2)C
| 规 律 方 法 |
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
1．对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．
2．由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．
|全练题点|
1．(2019·洛阳模拟)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析：选D　因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D．
2．(2019·惠州市一调)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，且f(2)g(2)<0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是(　　)

解析：选A　由题意知f(x)＝ax－2是指数形函数，g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)<0，可得g(2)<0，故loga2<0，故0<a<1，由此可以确定C、D两选项不正确；且f(x)＝ax－2是一个减函数，由此可知B选项不正确，A选项正确，故选A．
3．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，] B．(－∞，]
C．(－∞，] D．(－∞，]
解析：选B　∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，
∴当x∈(0,1]时，f(x)∈.
∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1,0]时，
x＋1∈(0,1]，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x，f(x)∈；
当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝f(x＋1)＝f(x＋2)＝(x＋2)(x＋1)，f(x)∈；
…；
当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈；
当x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1,0]；
….
f(x)的图象如图所示．

若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则有2<m<3.
设f(m)＝－，则4(m－2)(m－3)＝－，
∴m＝或m＝.结合图象可知，当m≤时，符合题意．故选B．
考点二　函数与方程
|多角探明|
命题角度一　确定函数零点的个数或存在区间
【例1】　(1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．7 D．0
(2)(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析]　(1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．

解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
(2)解法一：(定理法)函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．
由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．

解法二：(图象法)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B．
[答案]　(1)B　(2)B
| 规 律 方 法 |
函数零点所在区间的判断方法及适用情形
方法
含义
适用情形
定理法
利用函数的零点存在性定理进行判断
能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法
画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
容易画出函数的图象
解方程法
可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上
当对应方程f(x)＝0易解时
命题角度二　根据函数的零点求参数值或范围
【例2】　(1)函数f(x)＝ln x－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)(一题多解)(2019·银川一模)已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．
[解析]　(1)因为函数f(x)＝ln x－x－a有两个不同的零点，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，则y1＝ln x的图象与y2＝x＋a的图象有两个交点，由导数的知识可知，当直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时，a＝－1，作出y1＝ln x与y2＝x＋a的图象(图略)，由图易知当a<－1，即a∈(－∞，－1)时，y1＝ln x与y2＝x＋a的图象有两个交点．故选B．
(2)解法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围为(－2,1)．

解法二：函数f(x)的大致图象如图所示，则f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2,1)．
[答案]　(1)B　(2)(－2,1)
| 规 律 方 法 |
已知函数零点求参数范围的常用方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解
|全练题点|
1．(2019·河北武邑中学基础训练)方程ln(x＋1)－＝0(x>0)的根存在的大致区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2，e) D．(3,4)
解析：选B　令f(x)＝ln(x＋1)－，则f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2)．故选B．
2．(2019·广东七校联合体联考)若函数f(x)＝2x＋a2x－2a的零点在区间(0,1)上，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，1)
C． D．(1，＋∞)
解析：选C　易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上存在零点，∴f(0)f(1)＝(1－2a)(2＋a2－2a)<0，解得a>.
3．(2019·龙岩质检)已知f(x)是奇函数，且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________．
解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案：－