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2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第5讲 空间角与距离、空间向量及应用试题1

2022高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第5讲 空间角与距离、空间向量及应用试题1

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第八章　立体几何
第五讲　空间角与距离、空间向量及应用
练好题·考点自测
1.[2020安徽省阜阳市模拟]在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则(　　)
A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0
C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0
2.[广东高考,5分][理]已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
3.下列说法正确的是(　　)
A.直线的方向向量是唯一确定的
B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α
C.若两平面的法向量平行,则两平面平行
D.若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直,则a∥α
4.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(　　)
A.(-1,1,1)　 B.(1,-1,1)
C.(-33,-33,-33) D.(33,33,-33)
5.[2020四川五校联考]已知四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,△ABD是边长为2的等边三角形,BD=DC,BD⊥CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(　　)
A.24 B.23 C.12 D.34
6.[2019全国卷Ⅰ,16,5分]已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为　　　　. 
7.[2020天津,17,15分]如图8-5-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.

图8-5-1
(Ⅰ)求证:C1M⊥B1D.
(Ⅱ)求二面角B-B1E-D的正弦值.
(Ⅲ)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.

拓展变式
1.[2020山东,20,12分]如图8-5-10,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平

图8-5-10
面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC.
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

2.[2020全国卷Ⅲ,19,12分][理]如图8-5-14,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F
分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.
(1)证明:点C1在平面AEF内.
(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.

3.[2021山东新高考模拟]如图8-5-23,将长方形OAA1O1(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,其中OA=1,
OO1=2,A1B1的长为π6,AB为☉O的直径.
(1)在AB上是否存在点C(C,B1在平面OAA1O1的同侧),使得BC⊥AB1,若存在,请确定其位置;若不存在,请说明理由.
(2)求二面角A1-O1B-B1的余弦值.

图8-5-23
4.[2021河北省六校第一次联考]如图8-5-27(1),在Rt△ABC中,B为直角,AB=BC=6,EF∥BC,AE=2,沿EF将△AEF折起,使∠AEB=π3,得到如图8-5-27(2)所示的几何体,点D在线段AC上.

图8-5-27
(1)求证:平面AEF⊥平面ABC.
(2)若AE∥平面BDF,求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.

答 案
第五讲　空间角与距离、空间向量及应用

1.A　由题意可得AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).
∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),∴x-1=-2μ,y-1=λ+2μ,z+2=-λ+2μ,解得2x+y+z=1,故选A.
2.B　设选项中的向量与a的夹角为θ,对于选项A,由于cos θ=1×(-1)+0×1+(-1)×012+02+(-1)2×(-1)2+12+02=-12,此时夹角θ为120°,不满足题意;同理可知选项C,D不满足题意;对于选项B,由于cos θ=1×1+0×(-1)+(-1)×012+02+(-1)2×12+(-1)2+02=12,此时夹角θ为60°,满足题意.故选B.
3.C　A中,直线的方向向量不是唯一的,有无数多个,故A错误;B中,由条件得a⊥α,故B错误;D中,由条件得,a∥α或a⊂α,故D错误.易知C正确,选C.
4.C　由题意,得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,则n·AB=0,n·AC=0,即-x+y=0,-x+z=0,可得x=y=z.故选C.
5.A　由题意知CD⊥平面ABD.以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立如图D 8-5-1所示的空间直角坐标系,则A(0,1,3),C(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,0),AC=(2,-1,-3),BD=(0,-2,0),设异面直线AC与BD所成的角为α,则cos α=|AC·BD||AC|·|BD|=24,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为24,故选A.

图D 8-5-1
6.2　如图D 8-5-2,过点P分别作PE⊥BC交BC于点E,作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE=PF=3.过P作PH⊥平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HE=HF,则易得点H在∠ACB的平分线上,又∠ACB=90°,故△CEH为等腰直角三角形.在Rt△PCE中,PC=2,PE=3,则CE=1,故CH=2,在Rt△PCH中,可得PH=2,即点P到平面ABC的距离为2.

图D 8-5-2
7.依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图D 8-5-3),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).

(Ⅰ)依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1M·B1D=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.
(Ⅱ)依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).
设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则n·EB1=0,n·ED=0,即2y+z=0,2x-z=0.
不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).
因此有cos􀎮CA,n􀎯=CA·n|CA||n|=66,于是sin􀎮CA,n􀎯=306.
所以二面角B-B1E-D的正弦值为306.
(Ⅲ)依题意,AB=(-2,2,0).由(Ⅱ)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos􀎮AB,n􀎯=AB·n|AB||n|=-33.
所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.

1.(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.
又PD∩DC=D,因此AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC.
由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.
(2)以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图D 8-5-4所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).

图D 8-5-4
由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).
设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.
可取n=(-1,0,a).
所以cos<n,PB>=n·PB|n|·|PB|=-1-a3·1+a2.
设PB与平面QCD所成角为θ,
则sin θ =33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.
因为331+2aa2+1≤63,当且仅当a=1时等号成立,
所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.

2.如图D 8-5-5,以C1为坐标原点,C1D1的方向为x轴正方向,建立空间直角
坐标系C1-xyz.
(1)设AB=a,AD=b,AA1=c,连接C1F,则C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,23c),
F(0,b,13c),EA=(0,b,13c),C1F=(0,b,13c),得EA=C1F,
因此EA∥C1F,即A,E,F,C1四点共面,
所以点C1在平面AEF内.
(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),AE=(0,-1,-1),
AF=(-2,0,-2),A1E=(0,-1,2),A1F=(-2,0,1).
设n1=(x1,y1,z1)为平面AEF的法向量,则
n1·AE=0,n1·AF=0,即-y1-z1=0,-2x1-2z1=0,可取n1=(-1,-1,1).
设n2=(x2,y2,z2)为平面A1EF的法向量,则
n2·A1E=0,n2·A1F=0,即-y2+2z2=0,-2x2+z2=0,可取n2=(12,2,1).
因为cos<n1,n2>=n1·n2|n1|·|n2|=-77,所以二面角A-EF-A1的正弦值为427.
3.(1)存在符合题意的点C,当B1C为圆柱OO1的母线时,BC⊥AB1.
下面给予证明:
在AB上取点C,使B1C为圆柱的母线,则B1C⊥BC,如图D 8-5-6,连接BC,AC,因为AB为☉O的直径,所以BC⊥AC,
又B1C∩AC=C,所以BC⊥平面AB1C.
因为AB1⊂平面AB1C,所以BC⊥AB1.
(2)取AB的中点D(D,B1在平面OAA1O1的同侧),连接OD,OC,由题意可知,OD,OA,OO1两两垂直,故以O为坐标原点,以OD,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 8-5-6所示的空间直角坐标系O-xyz,

图D 8-5-6
因为A1B1的长为π6,所以∠AOC=∠A1O1B1=π6,则O1(0,0,2),B(0,-1,0),B1(12,32,2),D(1,0,0),所以O1B=(0,-1,-2),O1B1=(12,32,0).
设平面O1BB1的法向量为n=(x,y,z),则n·O1B=0,n·O1B1=0,即-y-2z=0,12x+32y=0.
令z=1,得n=(23,-2,1).
易知OD=(1,0,0)为平面O1A1B的一个法向量.
设二面角A1-O1B-B1的大小为θ,由图D 8-5-6可知θ为锐角,则cos θ=|n·OD||n||OD|=2317=25117.
所以二面角A1-O1B-B1的余弦值为25117.
4.(1)在△ABE中,AE=2,BE=4,∠AEB=π3,
由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BEcos∠AEB=4+16-2×2×4×12=12,∴AB=23,
∴EB2=EA2+AB2,∴∠EAB=π2,即EA⊥AB.
易知EF⊥EB,EF⊥EA,EA∩EB=E,
∴EF⊥平面ABE,又AB⊂平面ABE,∴EF⊥AB.
又EA∩EF=E,EA,EF⊂平面AEF,∴AB⊥平面AEF,
又AB⊂平面ABC,∴平面AEF⊥平面ABC.
(2)如图D 8-5-7,以A为原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,过点A垂直于平面ABE的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(23,0,0),E(0,2,0),F(0,2,2),C(23,0,6),
图D 8-5-7
∴AF=(0,2,2),FB=(23,-2,-2),AC=(23,0,6).
连接EC,与FB交于点G,连接DG,
∵AE∥平面BDF,DG为平面AEC与平面BDF的交线,
∴AE∥GD,∴GCGE=DCDA,
在四边形BCFE中,EF∥BC,∴△EFG∽△CBG,
∴GCGE=BCEF=3,∴DCDA=3,∴AD=14AC.
设D(x0,y0,z0),则AD=(x0,y0,z0),
由AD=14AC,得x0=32,y0=0,z0=32,∴D(32,0,32),
∴FD=(32,-2,-12).
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),
则n·FD=32x-2y-12z=0,n·FB=23x-2y-2z=0,取x=1,则z=3,y=0,
∴n=(1,0,3)为平面BDF的一个法向量.
设直线AF与平面BDF所成的角为θ,
则sin θ=|AF·n||AF||n|=2342=64,
即直线AF与平面BDF所成角的正弦值为64.