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长江水质的评价和预测

摘要：
本文根据长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据、干流上７个观测站近一年多的基本数据对长江水质进行了定量的研究，通过研究和分析，我们发现：如果不及时对长江进行整治，长江将会在不久的将来濒临崩溃。
在问题一中，我们利用BP神经网络模型和距离模型分别对大批量数据进行了学习训练，通过比较，得到了BP神经网络模型能更准确地反映实际情况，从而利用神经网络进一步地对长江及各地区近两年的水质污染情况作出了定量的综合评价。
在问题二中，我们把长江污染这个问题归结为一维河流水质模型，利用偏微分方程考虑污染物在河流中的变化情况，以此确定了主要污染物的污染源主要分布在湖北宜昌南津关与湖南岳阳城陵矶，安徽安庆皖河口与江苏南京林山之间。
在问题三中，我们借用灰色系统模型对长江未来10年水质污染的发展趋势做出预测分析。得到结论：如果再不采取保护措施和对废水处理的话，长江的污染将会更加严重。
在问题四中，我们首先根据往年的数据用SAS得到每一类水质中所含污染物的浓度，然后在问题三的基础上，利用问题三预测到的数据，在未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水的条件下, 建立线性规划模型来求解每年需要处理的污水量。
最后，我们在前面四问的基础上，对长江污水治理的提出了几点切实可行的建议和意见。

关键词：BP神经网络 距离模型 一维河流水质模型 偏微分方程 灰色系统 SAS 线性规划

一、问题的重述：
日益严重的环境污染，已经使得我们的生活受到了严重的影响。我国第一、世界第三大河流――长江水质的污染程度已经日趋严重，现在也引起了相关政府部门和专家们的高度重视。本文就是要求对长江污染问题进行研究和分析。
在得到了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据、干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）以及《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值之后，同时考虑到江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，我们欲解决以下问题：
1） 对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
2） 通过对所给数据的分析，得到主要污染物的污染源的分布地区。
3） 依照过去10年的统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。
4） 根据问题3）在满足条件的情况下来估算未来每年需要处理的污水量。
5） 对解决长江水质污染问题提出切实可行的建议和意见。

二、参数说明：

：河流流入和流出的纵向流量。单位：。
：一侧向输入和底部渗出流量。单位：。
：单位水面的降水量与蒸发量。单位：。
：时间内微元河段中水质量的增量。单位：。
：河床断面。单位：。
：河面宽。单位：。
：单位时间、单位长度上侧向和底部的源。
：单位时间、单位表面积上的源。
：单位时间、单位体积内的源。
:水的密度。单位：。
：每一段中的平均流速。单位：。
：降解速率。单位：。
：废水浓度。
：干流评价河长。
：支流评价河长。
：长江总流量。
：废水排放总量。
：干流中第类水质所占干流总容量的比例。
：支流中第类水质所占支流总容量的比例。
：第类水质中含有废物的浓度。
：某一年干流第类水质的总量。
：第类水质处理为第类水质所需要的费用。（）
：第类水质处理为第类水质的数量。（）

三、模型建立及求解：

问题一：
在问题一中由于影响河流水质的因素较多，且各因素与水质好坏之间的关系是复杂的、非线性的，要做到线性拟和是不实际的也是不可行的。而人工神经网络力图模拟人脑的一些基本特性，如自适应性、自组织性和容错性等，可以比较好的解决非线性的问题。因此我们采用了基于误差反向传播算法的BP神经网络模型对长江干流及支流共17个观测站近两年来的大批量数据进行了学习训练，从而进一步地对长江及各地区近两年的水质污染情况作出了定量的综合评价。与此同时，我们也根据《地表水环境质量标准》，采用了距离判别模型对长江水质定量的综合评价。通过两个向量之间的距离（我们采用欧氏距离和绝对值距离）来衡量两个向量之间的接近度，从而来确定河流水的分类。

1.1 模型1：B-P神经网络模型

1.1.1 人工神经网络B-P模型的结构与算法
B-P算法的人工神经网络，是一种由非线性变换单元组成的前馈型网络，一般由输入层、输出层和一个或多个隐含层组成，每一层由若干个神经元组成， 结构如图。

图1：B-P网络结构
B-P网络中的信息是单向传递的，其连接程度用权值表示， B-P网络的学习过程分为两个阶段，第一阶段从输入层输入信息，经隐含层单元处理后送到输出层，并经其处理后产生一个输出模式，即正向传播。如果实际输出与给定的期望输出模式有较大误差而不满足要求，此时进入第二阶段，即从输出层向输入层进行信息传播误差修正的计算，再将误差按原路返回，通过修改各层的神经元的阈值与权值来减少误差，直到误差值小于给定的临界值结束。此时可得到具有确定权值与阈值的收敛的网络模型，利用该网络可以完成实际模式的识别。

1.1.2 B-P神经网络用于水质评价模型的建立
用B-P神经网络处理数据分两个阶段进行，第一阶段是监督学习，网络通过已知输入模式进行训练:将影响水质等级评定的四个主要监测项目分别作为四维输入单元，将水质的等级类别作为输出单元，在本模型中，我们采用4-10-1层结构，即输入层神经单元数为4，输出层神经单元数为1，其中隐含层神经单元数目运用Matlab软件通过“试错法”，循环运算，确定隐含层神经单元数目为10效果较好，收敛速度快。
在进行训练前对样本数据进行规范化处理，即将输入数据归一化到[0，1]区间，传递函数采用sigmoid型函数:
其中常数，;
由于从输出层输出的水质等级分为六类，即输出的数值为1—6，所以从隐含层到输出层的函数就不能再采用sigmoid型函数，这里我们采用线性激活函数purelin。利用Levenberg-Marquardt训练网络，学习函数同样采用Levenberg -Marquardt规则，学习速率lr=0.05，精度取为0.001，最大训练次数epochs =2000。由于本题中的数据量庞大，且所测得的数据是在不同时段和不同地点中，具有空间和时间动态变化的性质，因此在众多数据中选取训练样本时应特别注意:训练样本应尽量选取在不同时段和不同地区的测量值，使样本不单一，否则会引起很大的误差。因为所要拟和的评定函数是与各个月份各个观测站的测量值有关，重要的一点是处理的数据并不具有相同的“性质”。我们在训练时选取了140组样本，在每个月份中随机选取五组不同的样本。训练样本多能拟和出更精确的函数关系式，但过多的样本也导致了训练速率的下降，收敛速度也会变很慢。
训练完成后，我们从剩下的样本中随机选取了几组进行检验， 如果训练和预测结果的相对误差均小于10%，认为建立的网络有效。

1.1.3 B-P神经网络模型的求解
我们用Matlab软件对该模型进行编程和求解 (程序见附录1)，运行结果见图2和图3。

图2：表示神经网络训练的误差曲线

图3：神经网络输出值与原始值的比较
（注：图3中小圆点表示预期输出值，小星号表示经网络训练后的实际输出值。）
由上面图形可知用B－P神经网络训练良好。
训练完成后，为使建立的模型I与后面建立的模型II相比较，我们将2003年06月份的17个样本作为检验样本进行仿真。
实际输出结果为：{1.9999 2.0049 2.9364 1.9973 1.9545 1.9991 1.9958 3.8703 1.9957 4.1388 1.4036 3.0747 2.0327 1.9979 3.0080 1.9969 2.0012}
均值 me = -0.1181 方差 st = 0.5029
则预测结果为:{2 2 3 2 2 2 2 4 2 4 1 3 2 2 3 2 2 };
而标准的结果是：2 2 3 2 2 2 2 4 2 4 1 3 2 2 3 2 2

1.2 模型2：距离模型
本模型利用矩阵计算各污染物的权重系数，并利用距离判别对污水进行综合评价。

1.2.1 建立无量纲化实测数据矩阵和评价标准矩阵
我们选取2003.6的数据建立实测矩阵，根据题目中所给的评价标准我们建立等级标准矩阵

然后建立无量纲化实测数据矩阵：
无量纲化等级标准矩阵
其中 ，

1.2.2 计算各评价指标的权重
首先计算矩阵的各行向量的均值与标准差

然后计算变异系数

最后对变异系数归一化到各指标的权向量为

根据权重系数的大小，即可说明PH值，溶解氧（DO），高锰酸钾指数（CODMn），氨氮（NH3-N）中的高锰酸钾指数（CODMn），氨氮（NH3-N）对水的污染作用最大，与题目中所提到的主要污染物是后两种十分吻合，说明算法的准确性。

1.2.3 建立2003.6月长江各主要监测点水污染情况的综合评价模型
我们利用欧氏距离和绝对值距离进行建模，通过两个向量之间的距离来衡量两个向量之间的接近度。
（1）、欧氏距离
计算中各向量到中各向量的欧氏距离

若 ，则第个湖泊属于第级；
（2）、绝对值距离
计算中各向量到中各向量的绝对值距离

若，则第个湖泊属于第级；

1.3 模型结果的检验以及模型的求解

1.3.1结果检验和模型的选择
三种方法同以2003.6月份17个观测点数据的为检测样本，输出如下：
真实值
2
2
3
2
2
2
2
4
2
4
1
3
2
2
3
2
2
误差
欧氏
2
2
5
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
23.5%
绝对值
2
1
5
2
2
2
2
4
2
4
1
2
2
2
2
2
2
23.5%
B-P
2
2
3
2
2
2
2
4
2
4
2
3
2
2
3
2
2
6%
表1：3种方法对2003.6的17个观测点数据的比较

综上表分析得知B-P网络预测更为准确，下面我们采用B-P网络对长江水质进行综合评价，因为检测样本较少，产生的误差偏大。

1.3.2 模型的求解

在定量分析长江近两年多的水质情况时，我们分别对长江的支流和干流进行分析，因为两者在水的净化能力，污染程度及水质评定等级的起伏范围等方面都存在很大的差别。
从2003.6月开始，我们对七个干流观测站每个月的四项测量数据分别取其平均值，在每个月可以计算得到其对应的，，，值(i=1，2，3，……，28)，然后将每个月得到这四个数据作为一个样本输入到训练好后的网络中，从输出层输出对应这28个月的长江干流的水质等级。同理将10个支流观测站每个月所观测的数值进行相同的处理，在网络输出层也可得到对应这28个月的长江支流的水质等级。（具体输出见附录2）
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
干流
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
支流
2
2
3
4
5
4
3
3
6
5
2
3
2
2

时间
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
干流
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
支流
2
4
1
6
5
4
2
2
2
2
2
2
2
2
表2：用B－P算法求得的28个月的长江干流与支流的水质等级

两者的对比图如下：

图4：28个月的长江干支流对比
【分析】
从上图可以反映出以下四个方面:
1 在这两年中长江干流的水质评定等级几乎都处在第二等级，水质并没发生 很大的改变。
2 长江支流的水质评定等级在这28个月中却有很大的波动，且大部分时间水质级别都处在三级以上。
3 长江干流的净化能力要明显优于长江支流的净化能力，且支流污染已经很严重了，两年来大部分时间都在生活饮用水的范围之外，会对支流周边的居民饮用水构成很大的威胁。
4 支流水质等级的变化受季节因素的影响很大，从图中可以观察到在2003年6--8月，12月，2004年1月，4月--8月，2005年2月—9月支流的水质评价等级都处在2级与3级之间，像5月到10月为长江流域的丰水期，2-3月分刚好是冬天积雪融化的季节，水流量的增加会稀释污水，水质相对来讲较好。12月到1月处在瑞冬的季节，可能河面结冰，水上活动相对很少，水流静缓，易于污染物的沉积。

对于不同观测点的综合评价，我们采用了综合模糊评判的方法，根据各地区28个月份的水质评判等级数据分析出了他们的污染状况。分别如下表所示：（具体图表见附录3）
四川攀枝花
2
江苏南京
2
湖南岳阳
3
重庆朱沱
2
四川乐山
4
湖北武汉
2
湖北宜昌
2
四川宜宾
3
江西南昌
5
湖南岳阳城
2
四川泸州
3
江西九江
3
江西九江
2
湖北丹江
1
江苏扬州
2
安徽安庆
2
湖南长沙
3

表3：长江沿岸各地区的水质等级

【分析】
从上表也可以看出位于长江干流流域的地区水质较好，污染等级幅度变化不大;位于长江支流流域的地方相对来讲要差一点，尤其像江西南昌，湖南长沙，四川乐山水质污染较为严重，有几个地区的水质也处在生活饮用水的边界。同时地理位置的差别也是形成不同地区水质不同的重要原因;像江西南昌滁槎和江西九江蛤蟆石虽在同一省内，但两个地区的水质却有显著的差别，由附件3可知，南昌位于鄱阳湖入口处，而九江处在鄱阳湖出口处，经鄱阳湖的净化调节作用后水质有明显的改变。湖南长沙新港和湖南岳阳岳阳楼水质的差别也更有力地证明了湖泊对水质的净化处理起着重要作用。另一方面位于长江下游地区的水质也较好，尤其是在入海的端口。更重要的一点是有些地区在7、8、9月份的丰水期其水质反而变差，如四川攀枝花地区，分析原因可能是该地区的水土流失较为严重， 水土流失将泥沙和土壤中的营养元素、残留的农药、化肥、及动植物残体带入水体，使水体中悬浮物、化学需氧量、总磷、总氮等含量增加，水质污染加重。这是造成它在汛期水质变差的主要原因。另外我们发现，这28个月中CODMn和NH3-N含量在出入鄱阳湖和洞庭湖后都发生了相同的变化，即CODMn含量升高和NH3-N含量降低，而N、P元素是引起富营养化污染的元素，洞庭湖和鄱阳湖的富营养化污染严重。

问题二：

2.1模型的假设:

1、 江河自身对污染物都有一定的自然净化能力。
2、 我们考虑的是在固定河段的均匀定常排污的情况。
3、 在特定的时间和特定的地段中，河流的流速是一定的。
4、 河流中污染物的分子扩散忽略不计。
5、 一般长江不受潮汐的影响，所以弥散系数很小，可以忽略。
6、 河底无渗漏、忽略面源的侧向输入。
7、 在特定的时间段内，污染物浓度的变化只是与传输的距离有关，与时间无关。

2.2模型的建立：

目标：通过模型的求解，根据两个城市之间排放的水的污染物浓度大小来判断两个城市之间是否有污染源。
我们把长江污染这个问题归结为一维河流水质模型，如下图所示：

图5：一维河流水质模型
我们考虑河流中长度为的微小河段的水量平衡关系。则在时间间隔内微小河段中的水质量平衡方程为：

不妨令为1，则上式可以改写成:
令，，可得：
当忽略、和时，则水平衡关系式为：
用河流断面的平均值、来表示。此时，，。（、和为因湍流扩散所引起的偏差量）。把转换公式代入扩散方程和上式，则有：

其中。
又由假设3：河流中污染物的分子扩散忽略不计。所以。而污染物在x方向扩散系数比弥散系数要小的多，因此，往往可以忽略扩散项。而由假设4，一般长江不受潮汐的影响，所以弥散系数也很小，也可以忽略。同时，再根据假设5，河底无渗漏、忽略面源的侧向输入，污染物的减少只是来自江河自身对污染物都有一定的自然净化能力。我们就把方程简化为：。
这是一个偏微分方程，可以改写成两个常微分方程：

式中，为特征线：。
对于初值的情况，得到：。
其中初值：(为水流量，为起始端旁侧流入的流量，为起始点的污染物浓度，为起始端旁侧流入的污染物浓度)。
由假设6，我们得到在特定的时间段内，污染物浓度的变化：。

2.3模型的求解：

在上面模型的建立中，我们已经得到了污染物在特定的时间段和特定的水流速内，污染物浓度的变化情况。下面我们就对问题二进行具体求解。
在求解的过程中，我们考虑长江干流从2004.4—2005.4主要污染物高锰酸盐指数（CODMn）和氨氮（NH3－N）的污染源主要在哪些地方。我们能估计的是污染源出现在哪两个城市之间。因为在两个城市的任何地点都可以是污染源，只要在不同的地方放入的污染物不同就可以使得在下游的那个城市污染物浓度达到题目数据的要求。事实上，我们可以设两城市的距离为，污染源离上游的城市距离，排放污染物为，则在污染源的地方由上游带来的污染物浓度为，从污染源开始就用新的偏微分方程了。初值变为了：，那么到了下游的那个城市，则变成了

因为有两个不同的变量，因此对于不同的，取不同的就可以使得结果相同。所以，就有上面的结论。
鉴于上面的结论，我们把重点放在题目中所列的城市中。假设污染源在下游的城市，则有等式：。（是下游城市已知的数据）
我们只要考虑解就可以了。考虑到河流的每一段都有污染物的注入并且上面的公式也只是通过近似而得到的，只有有大量的污染物的注入，我们才可以下结论：在这一段中有污染源的存在，至于污染源在哪里，还是不好确定。
同时，我们注意到中参数的单位。、和的单位是，的单位是，的单位是，和的单位是，的单位是。所以，我们得到最后的计算公式为
，其中各参数就是题目中的单位。
在这个标准下，我们对CODMn和NH3－N在2004.4—2005.4中的数据分别进行分析和求解，来得到解的值。（具体结果见附录4）

我们在认定污染源的时候，认为当注入的污染物的浓度是河流中污染物的浓度的3倍以上就表明这两个城市之间有污染源。下面一个一个来考虑。
先是对干流上不同地点的CODMn在2004.4—2005.4中的数据进行分析。在2004.4—2005.4这个时间段中干流上的CODMn平均浓度为2.536264，我们就约定：当需要注入污染物的浓度大于2.536264*3＝7.608792时候，这就说明这两个城市之间有污染源。由此，我们可以得到出现污染源的地区。
我们记1为四川攀枝花龙洞与重庆朱沱之间地区，记2为重庆朱沱与湖北宜昌南津关之间地区，记3为湖北宜昌南津关与湖南岳阳城陵矶之间地区，记4为湖南岳阳城陵矶与江西九江河西水厂之间地区，记5为江西九江河西水厂与安徽安庆皖河口之间地区，记6为安徽安庆皖河口与江苏南京林山之间地区。打勾表示此地区有污染源。
具体如下表所示：
CODMn
1
2
3
4
5
6
2004.4

2004.5

2004.6

2004.7

2004.8

2004.9

2004.10

2004.11

2004.12

2005.1

2005.2

2005.3

2005.4

表4：长江干流上的CODMn污染源

从表格中可以看到：地区3和地区6全年都有污染源，而地区2和地区4则大部分时间还是有污染源，而地区5污染源很少，地区1基本没有污染源。
接着对干流上不同地点的NH3－N在2004.4—2005.4中的数据进行分析。在2004.4—2005.4这个时间段中干流上的NH3－N平均浓度为0.222198，我们就约定：当需要注入污染物的浓度大于0.222198*3＝0.666594时候，这就说明这两个城市之间有污染源。由此，我们可以得到出现污染源的地区。具体如下表所示：
NH3－N
1
2
3
4
5
6
2004.4

2004.5

2004.6

2004.7

2004.8

2004.9

2004.10

2004.11

2004.12

2005.1

2005.2

2005.3

2005.4

表5：长江干流上的NH3－N污染源

从表格中可以看到：地区3全年都有污染源，而地区2和地区5则大部分时间还是有污染源，地区6的污染源集中在12月到4月，地区1基本没有污染源。
可以说，长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在地区3和地区6。
对于数据结果的补充说明：在上述结果中出现了负值，我们对此给出的解释为：首先就是数据本身也只是一种近似，不能完全说明问题；另外，我们所用的偏微分方程很理想，而实际与理想模型还是有差距；最后，当然是河流对污染物的影响，可能污染物被河流中的颗粒吸附，也可能与其他污染物反应降解。所以，的值可能会负的。但在我们的结果中是不会影响的。

问题三：

3.1参数说明：

：第类水在年时的真实含量；
：第类水在年时的预测含量；
：发展灰数；
：内生控制灰数；
，并且分别对应劣类水；

3.2模型的建立：

考虑到综合评价厂家污染程度的指标就是各类水所占的比重，影响水比重的连个重要因素是：长江年总流量和年废水排放量，我们通过近十年来的数据对未来十年的各类水所占比重以及长江年总流量和年废水排放量进行预测。在建模过程中我们发现数据波动性很大，影响水污染的因素有很多，如人口，气候等，对模型的预测非常复杂，我们决定采取灰色系统理论进行预测。灰色系统对输出序列进行研究，一般不对原始数据进行研究，而是通过原始数据生成一些序列并进新研究。不太涉及系统内部结构，允许系统内部存在灰色关系，我们把此预测模型视为灰色模型并进行建模；

3.3模型的求解：
令
则生成一组新的序列：
由此可得:

求解得

记作 ，利用最小二乘法求得 ；
其中； ，；
从而得到预想结果

可以求得每一组数据，再进行归一化处理，从而可以预测到未来十年的各类水的变化量，排污量和全年水流总量同样求得（见附表5）

3.4模型的验证：

我们采用后验差检验法，其中后验差比值是残差与数据方差之比，
即，
小误差概率；
其标准见下表
预测等级

好
〉0.95
〈0.35
较好
〉0.80
〈0.50
合格
〉0.70
〈0.65
不合格
0.70
〉0.65
表6：模型的验证I

由于模型中因为某偶然以外产生异常数据，使数据很不稳定，我们从变化不是十分强烈的数据中取水文年支流第类前十年的数据作为检验标本，数据如下

1
26.7
26.7
0
0
2
7
10.6
3.6
24.9
3
12.2
9.4
-2.8
22.8
4
12.3
8.3
-4
8.7
5
6.5
7.2
0.7
18.8
6
4.8
6.1
1.7
15.5
7
6.7
5.6
-1.1
0.5
8
4.7
4.9
0.2
22.6
9
4.1
4.2
0.1
7.9
10
1.2
3.6
2.4
7.9
平均值
8.62
8.67
0.05

表7：模型的验证II
其中;
;;<0.65;
=0.6;
其中的合格标准为0.7，考虑到实际数据的特殊性，我们认为预测基本合格

3.5结果分析：

通过预测我们得出未来干流，支流在分别枯水期，丰水期，以及水文年的各类水含量，以及污水排放量，年降水总流量的值，（程序见附录7）在预测各类水变化趋势时，我们先以每类单独预测，然后对预测的数据进行归一化处理，从而得到各类水的比例变化趋势，分析得知劣的竞争力为最强，即增长势头最大；
下面我们以水文年的干流各类水在过去十年和未来十年的变化了为研究对象进行分析
设为第类水在第年的百分比：
我们得到：

通过对各函数求导可得
当时，，，
，，
表示从大约从1999年开始，第1.2.3类水比例开始减少，4，5，6类水比例开始上升，且势头强劲，由
可看到第6类水比例以指数形式速度增加，由预测可得，未来的第十年，第六类水百分比将会达到75%以上
下图是通过对二十年数据拟合得到的各类水变化曲线图，从中也可以看出了这一点（其余数据，图表见附录6）

图6：水文年干流支流各类水质在未来变化趋势

通过预测和所有图片清晰地看到了各种水的变化趋势，正如上图所示，如果不采取任何措施进行治理，污水比例将会逐年迅速增加，不久，长江将仅仅是一条宽阔的排污通道。

问题四：

4.1模型假设：
1、 废水的浓度是一定的，即单位废水中所含有的废物的含量是一定的，记为。
2、 鉴于长江每年的总流量是变化不定，我们假设今后的长江水的总流量以2004年为准。干流与支流流量之比也借用2004年的数据。
3、 在数据的处理中，我们以水文年的数据为我们模型的数据依据。
4、 干流的单位长度上的水容量是支流上的3倍。
5、 新一年不考虑污染物的叠加。
6、 数据中给出的干流与支流的长度之比与实际之比相符。

对数据的说明：
在题目所给的附录4中的数据在1997年6类河长加起来比总河长要长，而且河长百分比也有微小的差距；1999年支流河长百分比算错了；2000年6类河长加起来也比总河长要长。但是，这些错误还是非常微小的，对我们的模型的求解应该不会产生影响，所以，我们在使用数据的时候，还是采用了错误的数据。在这里申明一下。

4.2模型的建立和求解：
目标：在满足约束条件的前提下，对污水进行处理，并使得总费用最少
为了得到每一年干流和支流中每一类水质的总容量，我们就以水文年的评价数据作为基准来求解。由假设4，我们知道干流的单位长度上的水容量是支流上的3倍，所以，干流中流量占长江总流量的比例为：。那么，在特定的一年中，干流总流量就为：。于是，对于干流中每一类特定的水质（第类水质）所含有废物的净含量就可以由下式来表示：。而干流中每年的河水中所含有废物的净含量即为：。类似地，支流中每年的河水中所含有废物的净含量即为：。
同时，每年排放的废水中所含有废物的净含量为：。于是，我们就得到如下的等式： 。
平移这个等式，就有：。记，则我们得到了：。
这样，对每一年来说，我们都有上面的等式。在特定的一年中，、、、和都是已知的。令，等式简化为：。以10年的数据作为依据，我们就有10个等式以及6个变量。接下来，就可以对方程进行处理了。得到的结果将会作为我们下面讨论的依据。
接着，我们用线性规划来求解每年需要处理的废水总量。对特定的年份，为某一年第类水质的总量，（）为第类水质处理为第类水质所需要的费用，（）为第类水质处理为第类水质的数量。我们要使得未来10年内每年长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,这就是我们的约束条件。而在这些条件都满足的条件下，我们很显然就有了目标条件：使得处理废水的费用最低。
用数学表达式来表达目标函数就是：。而对于约束条件来讲，第Ⅳ类水的量有以下几部分组成：原来的量，被处理的量，还有由于Ⅴ类和劣Ⅴ类水处理为Ⅳ类水。同理，第Ⅴ类水也是这样考虑。要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内用一个式子表示就是：
。
没有劣Ⅴ类水，就是：。
同时，我们注意到：从题目中所给的数据来看，长江每年的总流量是没有什么明显的规律：一年增加一年降低。这对我们需要未来的长江总流量的估计增加了很大的困难。另外，长江干流支流流量的比也是在不断变化的而不可预测。为此，我们简化为：未来10年长江总流量以及长江干流支流流量的比都按照2004年的数据：9405亿立方米，0.525。记为：，。而在第三问中，我们已经估算出了未来十年干流每类水质的比例，记为，所以。
于是，求解污水问题就抽象为下面的线性规划问题：

剩下的就是求解此线性规划问题。

4.3模型的求解：
对第一部分，我们用SAS软件来进行合成。显然，这不应该是一个线性回归问题，因为在各类水质的数量都是0时，污染物的总量也应该是0。所以，我们通过SAS中的非线性普通最小二乘估计（Nonlinear OLS）来求各个系数：
。
同时给定初值：。（具体的值见附录8）
具体程序如下：
proc model data=sasuser.xishu40;
F7=a*F1+b*F2+c*F3+d*F4+e*F5+f*F6;
fit F7 start=(a 0.1 b 0.1 c 0.1 d 0.1 e 0.1 f 0.1)/out=resid outresid;
run;

运行程序得到（结果见下图）：

即：

从图2中可以看出：此问题用非线性普通最小二乘法来拟和还是有一些误差，但是与结果200左右的数据来说，这样的误差还是可以接受的。

图7：SAS程序输出结果

图8：SAS程序输出的残差分析

从得到的结果来看，我们得到的数据可以看作是每一类水质中所含有污染物的份量，当结果再乘以开始除的，就是第类水质所含的污染物的比例。也就是说先前的可以看作是第类水质所含的污染物的比例。
考虑到这个问题的特殊性，我们可以想象到：从第类水质处理为第类水质所需要的费用肯定比从第类水质处理为第类水质再处理第类水质为第类水质所需要的费用要高。因此，第劣V类的在第IV类和第V类只和不到20％的情况下肯定处理到第V类直至饱和，然后再处理为第III类。至于第IV类和第V类和超过20％后就先处理第IV类到第III类，然后再处理第V类。因此，对这个问题，我们可以直接进行搜索求解。具体结果见下表：
年份
6—3（亿立方米）
4--3（亿立方米）
6--5（亿立方米）
2005
599.9081
84.08373
0
2006
772.2581
114.2319
0
2007
971.703
129.6755
0
2008
1191.73
128.9516
0
2009
1423.859
110.8913
0
2010
1657.709
77.16631
0
2011
1883.116
30.70725
0
2012
2067.101
0
24.44284
2013
2193.394
0
84.31834
2014
2294.25
0
145.0017
表8：处理各类水质的结果
最后，由此问上面的求解结果，从第类水质处理为第类水质的污染物量为：。同时，废水的浓度为，所以，从第类水质处理为第类水质的污染物量为：。由此，我们得到，每年在前面没有处理前提

下需要处理的积累下来的废水总量为
年份
处理废水量
年份
处理废水量
年份
处理废水量
2005
41.74881
2009
98.80261
2013
151.9599
2006
53.76235
2010
114.8617
2014
159.1568
2007
67.60168
2011
130.296

2008
82.81176
2012
143.0074

表9：每年在前一年没有处理前提下需要处理的废水总量
每年需要处理的废水总量（单位：亿立方米）

在前一年处理废水之后后一年需要处理的废水只要两年需要处理的废水值差就可以了。于是，每年需要处理的废水量为
年份
处理废水量
年份
处理废水量
年份
处理废水量
2005
41.74881
2009
15.99085
2013
8.952498
2006
12.01354
2010
16.05912
2014
7.19688
2007
13.83934
2011
15.43429

2008
15.21007
2012
12.7114

表10：每年需要处理的废水量（单位：亿立方米）

四、对长江污水治理的几点建议：

通过模型的了解和附件的阅读，加上平常自己的所见所闻，我们有以下自己的想法：解决长江水污染问题分别从预防和治理两个方面进行。并且以预防为主
1． 预防：
长江水的发现问题主要集中在两点：利益驱使和人们环保意识薄弱。首先从这两个方面采取措施。
（1）经济手段。主要是对排污者进行收费，如图所示，环保部门处理单位水的费用和企业减少单位排污量花费的成本都是递增的，则应该通过计算和统计分析寻求环保部门的花费函数与工厂的花费函数，从而寻求二者之间的平衡点和其对应的价格，使得污染降到对社会最适宜的平衡点。

（2）人们的环保意识薄弱，一方面是宣传力度不够 ，还有就是社会，政策，经济等各方面的影响，要在这些方面选取主要因素，就要建立科学合理的评价，要通过的调查分析计算几个因素与人们环保意识的关联度，自相关系数矩阵等建立各个因素之间的相关联，研究它们的综合作用。同时可以通过层次分析法，求得各个因素对人们影响的权重。
设影响人们心理因素为，潜在倾向环保于几率由这些因素共同确定，: 这里我们采用逻辑斯蒂模型描述各因素对的影响

其中为各因素影响的归一化权系数，为尺度参数。由于的实际值在0-1之间，所以建立模型为

其中

参数a一个调整因子，如果确定了和的各项参数值，便可以对重要因素采取相应的调整。
2．治理
（1）把污染严重地区列为重点，对污染源进行科学的控制，要把很多东西量化成数据，以便可以分析计算。通过分析计算得到良好的函数处理函数，评价函数等