2022版高考数学一轮复习-40-空间向量及其运算训练新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 40 空间向量及其运算训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习 40 空间向量及其运算训练新人教B版

年级：
姓名：

四十　空间向量及其运算
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　)
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
B　解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．
2．O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点
(　　)
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断
B　解析：因为＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
C　解析：·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.故选C.
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C　解析：因为(2a＋b)·b＝0，所以 2a·b＋b2＝0，所以2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.又因为|a|＝|b|≠0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.
5．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
C　解析：因为M为BC中点，所以＝(＋)，
所以·＝(＋)·
＝·＋·＝0.
所以AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则点M的坐标是________．
(0，－1,0)　解析：设M(0，y,0)，则＝(1，－y，2)，＝(1，－3－y,1)，由题意知||＝||，所以12＋y2＋22＝12＋(－3－y)2＋12，解得y＝－1，故M(0，－1,0)．
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．
　解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，
所以cos〈，〉＝＝－，所以sin〈，〉＝＝.

8．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解：(1)因为c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
所以c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
所以|c|＝＝3|m|＝3，
所以m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又因为|a|＝＝，
|b|＝＝，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
9．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点E，F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.

(1)解：E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明：因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，
所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
所以·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
所以⊥，
所以A1F⊥C1E.
(3)证明：因为A1，E，F，C1四点共面，
所以，，共面．
选与为平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，
使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)
＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
所以解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.
B组　新高考培优练
10．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列判断正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
AB　解析：选项A中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故选项A正确；选项B中，－＝，因为AB1⊥A1C，所以·(－)＝0，故选项B正确；选项C中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°，故选项C不正确；选项D中，|··|＝0，故选项D不正确．
11．(2021·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点．若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C　解析：(方法一)如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，所以异面直线A1C与AD所成的角就是A1C与A1D1所成的角，即∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角．
连接D1C，因为A1B1＝A1C1，所以A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，
所以A1D1⊥平面BCC1B1.因为D1C⊂平面BCC1B1，所以A1D1⊥D1C，所以△A1D1C为直角三角形，在Rt△A1CD1 中，A1C＝2，CD1＝，所以∠CA1D1＝60°.故选C.
(方法二)以A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，
则A1(0,0，)，A(0,0,0)．

因为△ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，所以AB＝AC＝，
所以B(，0,0)，C(0，，0)．
又D为BC的中点，所以D，
所以＝，易知＝(0，，－)．
设异面直线AD与A1C所成角的大小为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
又0°<θ≤90°，所以θ＝60°，即异面直线AD与A1C所成角的大小为60°.故选C.
12．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝.若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为(　　)

A．(1,1,1) B．
C． D．(1,1,2)
A　解析：设PD＝a(a＞0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E.所以＝(0,0，a)，＝.由cos〈，〉＝，所以＝，所以a＝2.所以E的坐标为(1,1,1)．故选A.
13．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD＝________.
5　解析：设＝λ，D(x，y，z)，
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)，
所以x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，
所以D(1,4λ－1,2－3λ)，
所以＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
因为·＝0，
所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，
解得λ＝－，
所以＝，
所以||＝＝5.
14．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解：(1)因为＝k，＝k，
所以＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(＋)＋
＝k＋
＝－k
＝－k(＋)
＝(1－k)－k.
由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，
MN在平面ABB1A1内；
当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，
又由(1)知与，共面，
所以MN∥平面ABB1A1.
综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内．
当0<k≤1时，MN∥平面ABB1A1.
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．

解：因为AB与CD成60°角，
所以〈，〉＝60°或120°.
又因为AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
所以||＝
＝
＝
＝
＝，
所以||＝2或.
所以BD的长为2或.