2022版高考数学一轮复习-第七章-立体几何-第六讲-空间向量及其运算学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第六讲 空间向量及其运算学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第六讲 空间向量及其运算学案 新人教版年级：姓名：第六讲空间向量及其运算知识梳理双基自测知识点一空间向量的有关概念1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_大小_和_方向_的量叫做空间向量，其大小叫做向量的_长度_或_模_.(2)相等向量：方向_相同_且模_相等_的向量(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_平行_或_重合_，则这些向量叫做_共线向量_或_平行向量_.(4)共面向量：平行于同一_平面_的向量叫做共面向量2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在唯一确定的R，使ab.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作_a，b_，其范围是_0a，b_，若a，b，则称a与b_互相垂直_，记作ab.向量a，b的数量积ab_|a|b|cosa，b_.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)_abac_.知识点二空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积ab_a1b1a2b2a3b3_共线ab(b0)_a1b1，a2b2，a3b3_垂直ab0(a0，b0)_a1b1a2b2a3b30_模|a|_夹角a，b(a0，b0)cosa，b_1向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间中任意一点题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有0.()(6)若ab0，则a，b是钝角()题组二走进教材2(必修2P97A组T2)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是(A)AabcBabcCabcDabc解析()c(ba)abc.3(必修2P98T3)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长的.题组三走向高考4(2018课标)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(C)ABCD解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，ABBC1，AA1，A(1,0,0)，D1(0,0，)，D(0,0,0)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，设异面直线AD1与DB1所成的角为，则cos ，异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C5(2020江苏，22)在三棱锥ABCD中，已知CBCD，BD2，O为BD的中点，AO平面BCD，AO2，E为AC的中点求直线AB与DE所成角的余弦值解析连接OC，因为CBCD，O为BD的中点，所以COBD又AO平面BCD，所以AOOB，AOOC以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为BD2，CBCD，AO2，所以B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)因为E为AC的中点，所以E(0,1,1)则(1,0，2)，(1,1,1)，所以|cos，|.因此，直线AB与DE所成角的余弦值为.考点突破互动探究考点一空间向量的线性运算自主练透例1 (1)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点化简_.用，表示，则_.(2)在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.解析(1)().因为()所以().(2)()().名师点拨(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来(2)向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算变式训练1(1)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：_acb_；_abc_.(2)(2021晋江模拟)设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为_.解析(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.(2)如图所示，取BC的中点E，连接AE.则()()()()，xyz.考点二空间向量共线、共面定理的应用师生共研例2 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解析(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与、共面，所以MN平面ABB1A1.名师点拨1证明空间三点P、A、B共线的方法(1)(R)；(2)对空间任一点O，t(tR)；(3)对空间任一点O，xy(xy1)2证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz(xyz1)；(4)(或或)变式训练2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解析(1)由题知3，所以()()，即，所以，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.考点三空间向量的坐标运算师生共研例3 (2021安庆模拟)已知空间三点A(2,0,2)，B(1，1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求k的值；(4)若(ab)(ab)与z轴垂直，求，应满足的关系解析(1)c，所以cmm(2，1,2)(2m，m,2m)所以|c|3|m|3.即m1.所以c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以ab(1,1,0)(1,0,2)1.又|a|，|b|，所以cosa，b.所以a和b夹角的余弦值为.(3)解法一：因为kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，所以(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280.所以k2或k.即当kab与ka2b互相垂直时，k2或k.解法二：由(2)知|a|，|b|，ab1，所以(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.(4)因为ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，所以(ab)(ab)(2，22)因为(ab)(ab)(0,0,1)220，即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直名师点拨空间向量的坐标运算与平面向量坐标运算类似，可对比应用利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口变式训练3(1)与向量(3，4,5)共线的单位向量是(A)A和BCD或(2)已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k(D)A1BCD解析(1)与向量a(3，4,5)共线的单位向量为(3，4,5)或.(2)由题意，得kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，所以(kab)(2ab)3(k1)2k225k70，解得k.名师讲坛素养提升向量在立体几何中的简单应用例4 (1)(多选题)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA1，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(ACD)A当2时，B1，P，D三点共线B当时，C当3时，D1P平面BDC1D当5时，A1C平面D1AP(2)(多选题)(2021广东珠海期末改编)已知球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB2，若点P是球面上任意一点，则的取值可能是(ABCD)A2B0C2D4(3)二面角l为60，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面，内，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，则CD的长为(A)A2aBaCaDa解析(1)如图建立空间直角坐标系，A1(1,0,1)，C(0，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，1)，D(0,0,0)，当2时，而(1，1)，B1、P、D三点共线，A正确；(，1)当时，510，0，错；当3时，又(1，0)，(0，1)，D1P平面BDC1，C正确；当5时，从而，又(1,0,1)(1，1)0，A1CAD1，(，)(1，1)0，A1CAP，A1C平面D1AP，D正确，故选A、C、D(2)由球O的半径为2，A，B是球面上的两点，且AB2，可得AOB，22()2，|2，()()()22|cos 424cos 2,6，故选A、B、C、D(3)ACl，BDl，60，且0，0，.|2a.故选A例5 如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为棱AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解析解法一：由题意可知CA、CB、CC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，且设ACBCAA2a，则(0,2a，a)，(a，a，2a)，(2a,0,2a)(1)02a22a20，即CEAD(2)记异面直线CE与AC所成角为，则cos |cos，|.解法二：(1)证明：设a，b，c，根据题意得|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba，c2b20，即CEAD(2)ac，|a|，bc，|a|，(ac)c2|a|2，cos，C，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.名师点拨空间向量数量积的应用中的主要题型(1)求夹角：设向量a，b所成的角为，则cos，进而可求两异面直线所成的角(2)求长度(距离)：运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题(3)解决垂直问题：利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题注：若几何体中存在两两垂直的三线，可建空间直角坐标系，“坐标化”求解变式训练4(1)如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.则AC1_；BD1与AC夹角的余弦值为_.(2)(2021湖南省六校联考)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面是边长为a的菱形，BAD60，AA12a，则直线A1C1与B1C成角的余弦值为_.解析(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126.|，即A1C的长为.又bca，ab，|，|.(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.(2)连接AC、BD相交于O，四边形ABCD是菱形，ABCD，如图建立空间直角坐标系，则B1(0，2a)，C，C1，A1，(a,0,0)，记B1C与A1C1所成角为，则cos .注：本题也可连AC、AB1，解AB1C，求cosACB1即可