2022版高考数学一轮复习-第八章-解析几何-第一讲-直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案 新人教版

年级：
姓名：

第八章　解析几何
第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

知识梳理·双基自测

知识点一　直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．
(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__．
知识点二　直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝____．
知识点三　直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
__y－y0＝k(x－x0)__
不含直线x＝x0
斜截式
__y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
＋＝1
不含垂直于x轴、平行于x轴和__过原点的__直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
其中要求__A2＋B2≠0__
适用于平面直角坐标系内的所有直线

直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k
0
k＞0且α越大，k就越大
不存在
k＜0且α越大，k就越大

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(　√　)
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　×　)
(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(　×　)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修2P38T3)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　B　)
A．－1 B．－3
C．0 D．2
[解析]　由＝＝y＋2，
得y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3．
3．(必修2P100A组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x－2y＝0或x＋y－5＝0__．
[解析]　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5．所以直线方程为x＋y－5＝0．
题组三　走向高考
4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　C　)
A．－1 B．3
C．7 D．8
[解析]　线段AB的方程为y－1＝(x－4)， 2≤x≤4．即2x＋y－9＝0,2≤x≤4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7．
5．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意可知切线的斜率k＝tan α＝＝，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴≤α＜π，故选D．

考点突破·互动探究
考点一　直线的倾斜角与斜率——自主练透
例1　(1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　B　)
A． B．
C． D．
(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为(　A　)
A．∪ B．
C． D．∪
(3)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　C　)
A．e B．－e
C． D．－
[解析]　(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α．由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是．
(2)如图所示，设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)．
kPA＝＝－1，kPB＝＝1．

∵直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，
∴－1≤tan α≤1．
∴α∈∪．故选A．
(3)解法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝．设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝．

解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及曲线f(x)＝ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C．
[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．
[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为____．
[解析]　

∵P(0，－1)，A(－1,0)，
B(2,1)，∴kAP＝＝－1，
kBP＝＝1．
如图可知，直线l斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为．

名师点拨
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．

(2)求直线斜率的方法：
①定义法：k＝tan α；
②公式法：k＝；
③导数法：曲线y＝f(x)在x0处切线的斜率k＝f′(x0)．
(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于x轴．
〔变式训练1〕
(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　B　)
A．[0，π) B．∪
C． D．∪
(2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的值可以是(　ABC　)
A． B．－2
C．0 D．1
[解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π，选B．
(2)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示，

若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，
∵kPA＝－2，kPB＝，
∴－2≤k≤，故选A、B、C．
考点二　直线的方程——师生共研
例2　求适合下列条件的直线的方程：
(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；
(2)经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
(3)过点(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；
(4)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．
[解析]　(1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝．
∴cos α＝±，直线的斜率k＝tan α＝±．
又直线在y轴上的截距是－5，
由斜截式得直线方程为y＝±x－5．
即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0．
(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为．
又直线过点(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0．
(3)若直线过原点，则其斜率k＝，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0．
若直线不过原点，则设其方程为＋＝1，由＋＝1得b＝，故所求直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0．
∴所求直线的方程为x＋2y－9＝0或2x－5y＝0．
(4)直线3x－4y－5＝0的斜率为，与y轴交点为，故所求直线的斜率为－，且过点，∴所求直线方程为y＝－x－，即3x＋4y＋5＝0．

名师点拨
求直线方程应注意的问题
(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．
(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．
〔变式训练2〕
(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为__x＋13y＋5＝0__．
(2)直线x－y＋4＝0绕其与x轴的交点顺时针旋转所得直线的方程为__x－3y＋4＝0__．
(3)已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为__x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0__．
[解析]　(1)由题意可知BC的中点为H，
∴kAH＝＝－．
故所求直线的方程为y－0＝－(x＋5)，
即x＋13y＋5＝0．
(2)直线x－y＋4＝0与x轴的交点为，斜率为，倾斜角θ为，可知所求方程直线的倾斜角为，斜率k＝，故所求直线的方程为y＝，即x－3y＋4＝0．
(3)设直线方程为y＝x＋b，则3b2＝3，∴b＝±1，故所求直线方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
考点三　直线方程的应用——多维探究
例3　已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程；
(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程；
(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；
(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
[解析]　设直线的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
则＋＝1．
(1)∵＋≥2⇒ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4．此时，直线l的方程是＋＝1．即x＋2y－4＝0．
(2)a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2．故a＋b的最小值为3＋2，此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋．此时，直线l的方程为＋＝1．即x＋y－2－＝0．
(3)解法一：设∠BAO＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，∴|MA|·|MB|＝＝，显然当θ＝时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时kl＝－1，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0．

解法二：|MA|·|MB|＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝＋≥4．当且仅当a＝b＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
解法三：若设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则A，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝·＝2≥4，当且仅当－k＝－，即k＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为x＋y－3＝0．
(4)同(3)|MA|＝，|MB|＝，
∴|MA|2＋|MB|2＝＋
＝(sin2θ＋cos2θ)
＝5＋＋≥9．

∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，
此时直线的斜率k＝－，
故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－2(＋1)＝0．
注：本题也可设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)求解．

名师点拨
利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．
〔变式训练3〕
已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B，O为坐标原点．若S△AOB＝，求直线l的方程．
[解析]　设直线l的方程为＋＝1，
则解得或
故所求直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋y－3＝0或x＋4y－6＝0．

名师讲坛·素养提升
(1)定点问题
例4　(此题为更换后新题)已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围．
[解析]　(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋3)，故无论k取何值，直线l必过定点(－3,1)．
(2)令x＝0得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1．　
由题意知解得k≤－．
故k的取值范围是(－∞，－]．
(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围．
[解析]　(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，故无论k取何值，直线l必过定点(－2,1)．
(2)令x＝0得y＝2k＋1，即直线l在y轴上的截距为2k＋1．　
由题意知解得k≥0．
故取值范围是[0＋∞)．

名师点拨
过定点A(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0．方程为y－y0＝k(x－x0)是直线过定点A(x0，y0)的充分不必要条件．
(2)曲线的切线问题
例5　(2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y＝相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为(　A　)
A．2 B．
C．1 D．3
[解析]　设切点为，m≠0，y＝的导数为y′＝－，可得切线的斜率k＝－，切线方程为y－＝－(x－m)，代入(2,0)，可得－＝－(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为×2×2＝2．故选A．
〔变式训练4〕
(1)直线y＝kx－k－2过定点__(1，－2)__．
(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为__2x－y－2＝0__．