2022版高考数学一轮复习-练案第八章-解析几何-第一讲-直线的倾斜角、斜率与直线的方程练习新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程练习新人教版

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第八章　解析几何
第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·浙江衢州质检)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　D　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.
2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　D　)

A．k1<k2<k3　　 B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1　　 D．k1<k3<k2
[解析]　直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D．
3．直线3x＋2y＝6的倾斜角的余弦值为(　B　)
A．　　 B．－
C．　　 D．－
[解析]　记直线3x＋2y＝6的倾斜角为α，则tan α＝－，∴＝，解得cos α＝－，故选B．
4．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为(　B　)
A．2x＋y＝0　　 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0　　 D．x－2y－5＝0
[解析]　设P(x0,0)，Q(0，y0)，
∵M(1，－2)为线段PQ中点，
∴x0＝2，y0＝－4，
∴直线PQ的方程为＋＝1，
即2x－y－4＝0.
5．(2021·成都诊断)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　A　)
A．x＝2　　 B．y＝1
C．x＝1　　 D．y＝2
[解析]　直线y＝ －x－1的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2,1)，所以所求直线方程为x＝2.
6．(2021·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)
A．　　 B．
C．∪　　 D．∪
[解析]　k＝－∈[－1,0)，因此倾斜角的取值范围，选B．
7．(2021·重庆一中期中)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　D　)
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
[解析]　当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0，故选D．
8．(2021·广东七校联考)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－2,1)　　 B．(－1,2)
C．(－∞，0)　　 D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析]　由题意知k＝<0，∴(a－1)(a＋2)<0，即－2<a<1.故选A．
9．(2021·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　A　)
A．ab>0，bc<0　　 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0　　 D．ab<0，bc<0
[解析]　由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即，∴，故选A．

10．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　C　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限　　 D．第四象限
[解析]　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0知，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．
11．下列说法正确的是(　A　)
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．过点(0,2)的直线方程为y＝kx＋2
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
[解析]　A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，过点(0,2)的直线方程为y＝kx＋2或x＝0，所以B错误，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.
二、填空题
12．(2021·福建六校联考改编)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是__②④__.

[解析]　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知②符合，当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项④符合，当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故填②④.
13．过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程可以是__2x＋y－12＝0或2x－5y＝0__.
[解析]　设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，∴所求直线方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.
14．经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为__3x＋4y＋15＝0__.
[解析]　由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)．
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
15．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为__x－2y－1＝0__.

[解析]　设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，
∵A(5，－2)，B(7,3)，
又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，
N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，
∴点C的坐标为(－5，－3)，
则kBC＝＝，
∴BC的方程为y－3＝(x－7)，即x－2y－1＝0.
16．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为__x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0__.
[解析]　设所求直线l的方程为＋＝1.
∵k＝，即＝－，∴a＝－6b.
又三角形面积S＝3＝|a|·|b|，∴|ab|＝6.
则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6.
∴所求直线方程为＋＝1或＋＝1.
即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
B组能力提升
1．(2021·北京东城期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　B　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
[解析]　当<α<π时，k<0；当k>时，<α<.所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B．
2．(2021·湖北孝感调研)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　A　)
A．k≥或k≤－4　　 B．k≥或k≤－
C．－4≤k≤　　 D．≤k≤4
[解析]　直线l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化为k(1－x)＋y－1＝0，
∴直线l过定点P(1,1)．如图所示．

直线PA的斜率kPA＝＝－4，
直线PB的斜率kPB＝＝，
则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥.故选A．
3．(2021·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　D　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　由f＝f知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为，故选D．
4．(2021·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16__.
[解析]　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以1＝2≥4，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.
5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程；
(4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程，
[解析]　(1)证明：设直线过定点(x0，y0)，
则kx0－y0＋1＋2k ＝0对任意k∈R恒成立，
即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．
所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.
解得x0＝－2，y0＝1，故直线l过定点(－2,1)．
另证：kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，
显然x＝－2，y＝1时对任意k方程都成立，
故直线过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，
则解得k的取值范围是k≥0.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
由题意得＝4，
解得k＝或k＝或k＝－，
故所求直线方程为x－2y＋4＝0或(2－3)x－2y＋4(－1)＝0或(2＋3)x＋2y＋4(＋1)＝0.
(4)又－<0，且1＋2k>0，∴k>0，
∴S＝＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.