2022版高考数学一轮复习-第八章-解析几何-第一讲-直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案 新人教版年级：姓名：第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理双基自测知识点一直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴_正向_与直线l_向上_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_0_(2)倾斜角的取值范围为_0，180)_知识点二直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的_正切值_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_tan_，倾斜角是90的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)的直线的斜率公式为k_知识点三直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_yy0k(xx0)_不含直线xx0斜截式_ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式1不含垂直于x轴、平行于x轴和_过原点的_直线一般式AxByC0其中要求_A2B20_适用于平面直角坐标系内的所有直线直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：00909090180k0k0且越大，k就越大不存在k0且越大，k就越大题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等()(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示()(5)不经过原点的直线都可以用1表示()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二走进教材2(必修2P38T3)经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y(B)A1B3C0D2解析由y2，得y2tan1，y33(必修2P100A组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_3x2y0或xy50_解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5所以直线方程为xy50题组三走向高考4(2016北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2xy的最大值为(C)A1B3C7D8解析线段AB的方程为y1(x4)， 2x4即2xy90,2x4，因为P(x，y)在线段AB上，所以2xy2x(2x9)4x9又2x4，则14x97，故2xy最大值为75(2010辽宁)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是(D)ABCD解析由题意可知切线的斜率ktan ，1tan 0，又0，故选D考点突破互动探究考点一直线的倾斜角与斜率自主练透例1(1)(2021兰州模拟)直线2xcos y30的倾斜角的变化范围是(B)ABCD(2)(2020贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为(A)ABCD(3)已知曲线f(x)ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(C)AeBeCD解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos 由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的变化范围是(2)如图所示，设直线l的倾斜角为，0，)kPA1，kPB1直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，1tan 1故选A(3)解法一：f(x)ln x，x(0，)，f(x)设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率kf(x0)，ln x01，x0e，k解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)ln x及曲线f(x)ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C引申1若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l的斜率的范围为_(，1)(1，)_引申2若将题(2)中A(1，2)改为A(1,0)，其它条件不变，求直线l斜率的取值范围为_(，11，)_，倾斜角的取值范围为_解析P(0，1)，A(1,0)，B(2,1)，kAP1，kBP1如图可知，直线l斜率的取值范围为(，11，)，倾斜角的取值范围为名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜率ktan 的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角的取值范围(2)求直线斜率的方法：定义法：ktan ；公式法：k；导数法：曲线yf(x)在x0处切线的斜率kf(x0)(3)注意倾斜角的取值范围是0，)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为，直线垂直于x轴变式训练1(1)(2021大庆模拟)直线xsin y20的倾斜角的范围是(B)A0，)BCD(2)(多选题)(2021安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的值可以是(ABC)AB2C0D1解析(1)设直线的倾斜角为，则tan sin ，所以1tan 1，又0，)，所以0或，选B(2)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示，若l与线段AB相交，则kPAkkPB，kPA2，kPB，2k，故选A、B、C考点二直线的方程师生共研例2求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是；(2)经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半；(3)过点(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍；(4)与直线3x4y50关于y轴对称解析(1)设直线的倾斜角为，则sin cos ，直线的斜率ktan 又直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线方程为yx5即3x4y200或3x4y200(2)由xy10得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，故所求直线的斜率为又直线过点(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60(3)若直线过原点，则其斜率k，此时直线方程为yx，即2x5y0若直线不过原点，则设其方程为1，由1得b，故所求直线方程为1，即x2y90所求直线的方程为x2y90或2x5y0(4)直线3x4y50的斜率为，与y轴交点为，故所求直线的斜率为，且过点，所求直线方程为yx，即3x4y50名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可确定直线方程的常用方法有两种：直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0变式训练2(1)已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_x13y50_(2)直线xy40绕其与x轴的交点顺时针旋转所得直线的方程为_x3y40_(3)已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为_x6y60或x6y60_解析(1)由题意可知BC的中点为H，kAH故所求直线的方程为y0(x5)，即x13y50(2)直线xy40与x轴的交点为，斜率为，倾斜角为，可知所求方程直线的倾斜角为，斜率k，故所求直线的方程为y，即x3y40(3)设直线方程为yxb，则3b23，b1，故所求直线方程为x6y60或x6y60考点三直线方程的应用多维探究例3已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：(1)当AOB面积最小时，直线l的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程；(3)当|MA|MB|取最小值时，直线l的方程；(4)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线l的方程解析设直线的方程为1(a0，b0)，则1(1)2ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4此时，直线l的方程是1即x2y40(2)ab(ab)33232故ab的最小值为32，此时，求得b1，a2此时，直线l的方程为1即xy20(3)解法一：设BAO，则sin ，cos ，|MA|MB|，显然当时，|MA|MB|取得最小值4，此时kl1，所求直线的方程为y1(x2)，即xy30解法二：|MA|MB|(a2，1)(2，b1)2ab5(2ab)54当且仅当ab3时取等号，|MA|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为xy30解法三：若设直线l的方程为y1k(x2)，则A，B(0,12k)，|MA|MB|24，当且仅当k，即k1时，取等号故|MA|MB|的最小值为4，此时直线l的方程为xy30(4)同(3)|MA|，|MB|，|MA|2|MB|2(sin2cos2)59|MA|2|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k，故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y2(1)0注：本题也可设直线方程为y1k(x2)(k0)求解名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清变式训练3已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B，O为坐标原点若SAOB，求直线l的方程解析设直线l的方程为1，则解得或故所求直线方程为1或1，即xy30或x4y60名师讲坛素养提升(1)定点问题例4(此题为更换后新题)已知直线l：kxy13k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围解析(1)证明：直线l的方程可化为y1k(x3)，故无论k取何值，直线l必过定点(3,1)(2)令x0得y3k1，即直线l在y轴上的截距为2k1由题意知解得k故k的取值范围是(，(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不过第四象限，求k的取值范围解析(1)证明：直线l的方程可化为y1k(x2)，故无论k取何值，直线l必过定点(2,1)(2)令x0得y2k1，即直线l在y轴上的截距为2k1由题意知解得k0故取值范围是0)名师点拨过定点A(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0方程为yy0k(xx0)是直线过定点A(x0，y0)的充分不必要条件(2)曲线的切线问题例5(2021湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为(A)A2BC1D3解析设切点为，m0，y的导数为y，可得切线的斜率k，切线方程为y(xm)，代入(2,0)，可得(2m)，解得m1，则切线方程为y1x1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为222故选A变式训练4(1)直线ykxk2过定点_(1，2)_(2)(2018课标全国)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_2xy20_