2022版高考数学一轮复习-课时质量评价30-平面向量的数量积及综合应用新人教A版.doc

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价30 平面向量的数量积及综合应用新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时质量评价30 平面向量的数量积及综合应用新人教A版

年级：
姓名：

课时质量评价(三十)
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．(多选题)已知向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，c＝(－2，－1)，那么下列结论正确的是(　　)
A．a＋b与c为共线向量
B．a－b与c垂直
C．a－b与a的夹角为钝角
D．a－b与b的夹角为锐角
AB　解析：根据题意，向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，则a＋b＝(4,2)．
又由c＝(－2，－1)，有4×(－1)＝2×(－2)，则a＋b与c是共线向量．
因为a－b＝(－4,8)，(a－b)·c＝(－4)×(－2)＋(－1)×8＝0，所以a－b与c垂直．
2．(2020·中卫二模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时．若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(　　)
(参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732)

A．63 B．69
C．75 D．81
B　解析：设该学生左右两只胳膊的拉力分别为F1，F2，身体的重力为G，F1＝F2＝400 N，两胳膊夹角θ＝60°，
所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．
所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002，|G|＝400(N)，40≈40×1.732≈69，
则该学生的体重约为69 kg.
3．(2020·“超级全能生”全国联考)在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　)
A．16　　B．12　　C．8　　D．－4
A　解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．设E(0，t)，因为AE⊥BD，所以·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，
所以t＝，即E.
·＝·(0,6)＝16.
4．(2020·兴庆区校级三模)在边长为2的等边三角形ABC中．若D是BC边上的中点，点P是线段AD上的一动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1.0] B．[－1,1]
C． D．
D　解析：以D为原点，DC和DA分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0，)，C(1,0)．
设P(0，y)，y∈[0，]，
所以·＝(0，y－)·(－1，y)＝y(y－)∈.
5．(2020·唐山二模)已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
A　解析：因为|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，
所以(a－b)·(3a－b)＝3a2＋b2－4a·b＝3＋b2－4a·b＝0，
所以a·b＝，
所以cos〈a·b〉＝＝＝≥，当且仅当|b|＝时，等号成立，且0°≤〈a·b〉≤180°，
所以cos〈a·b〉＝时，a，b的夹角最大为30°.
6．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,4)．若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为，则|c|＝________.
5　解析：向量a＝(－1,2)，向量c与a共线，
设c＝(－λ，2λ)．由b＝(3,4)，
所以c在b方向上的投影为
|c|cos θ＝＝＝，
解得λ＝，
所以c＝(－，2)，
所以|c|＝＝5.
7．已知向量＝(2,3)，＝(3，t)，且与夹角为锐角，则实数t的取值范围为________．
∪　解析：向量＝(2,3)，＝(3，t)，所以＝－＝(1，t－3)．
又与夹角为锐角，则
所以
解得t＞且t≠，
所以实数t的取值范围是∪.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝，则点C的坐标是________．
(－1，－3)　解析：由题意，＝(0，－1)是一个单位向量．由于＝(－3，－4)，故方向上的单位向量e＝.
因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在实数λ(λ>0)使得＝λ(＋e)＝λ＝λ.
因为||＝，
所以λ2×＝10，解得λ＝.
代入得＝(－1，－3)．
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解：(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
因为0＜A＜π，
所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝，
因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影为||·cos B＝ccos B ＝1×＝.
B组　新高考培优练
11．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　)
A．不存在θ，使e1·e2＝
B．e＝e
C．(e1－e2)⊥(e1＋e2)
D．e1在e2方向上的投影为sin θ
ABC　解析：对于A，因为两个单位向量e1，e2，有e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，所以A正确；对于B，因为两个单位向量e1，e2，有e＝e＝1，所以B正确；对于C，因为两个单位向量e1，e2，(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝0 ，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2方向上的投影为|e1|cos θ＝cos θ，所以D错误．
12．(2020·乐山模拟)如图，已知函数f (x)＝|sin πx|，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f (x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记ni＝·(i＝1,2，…，5)，则n1＋n2＋…＋n5的值为(　　)

A．　　B．45　　C．　　D．
D　解析：由题意得，函数f (x)的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1,2,3，故A2，A3，
则k＝，k＝＝－.
因为kk＝－1，故⊥，
故n1＋n2＋…＋n5
＝(＋＋＋＋)
＝(5＋＋＋＋＋)
＝5·＝5×＝.
13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．

1　1　解析：以射线AB，AD分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0,1)．
设E(t,0)，t∈[0,1]，
则＝(t，－1)，＝(0，－1)，
所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，
所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
·的最大值为1.

14．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，求|c－a|的最大值．
解：设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)．
因为|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，
则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．
因为(c－a)·(c－b)＝－1，所以x2＋y2－6x－2y＋9＝0，
即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离．因为圆心到A的距离为，所以|c－a|的最大值为＋1.
15．(2020·浙江模拟)已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰三角形OCD的顶点C，D在半圆弧上运动，且OC＝OD，∠COD＝120°，点P是半圆弧上的动点，求·的取值范围．
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得A(－1,0)，B(1,0)，设D(cos α，sin α)，则C(cos(α＋120°)，sin(α＋120°))．
设P(cos θ，sin θ)，其中α∈[0°，60°]，θ∈[0°，180°]，
所以＝(cos(α＋120°)－cos θ，sin(α＋120°)－sin θ)，＝(cos α－cos θ，sin α－sin θ)，
所以·＝[cos(α＋120°)－cos θ]·(cos α－cos θ)＋[sin(α＋120°)－sin θ]·(sin α－sin θ)＝cos α－cos θ－cos α·cos θ＋cos2θ＋sin α－sin θ－sin αsin θ＋sin2θ
＝－cos2α－sin αcos α＋cos α·cos θ＋sin αcos θ－cos αcos θ－·sin2α＋sin αcos α＋sin αsin θ－cos αsin θ－sin αsin θ＋1
＝－＋1－(cos αcos θ＋sin αsin θ)
＋(sin αcos θ－cos αsin θ)
＝－cos(α－θ)＋sin(α－θ)
＝＋sin(α－θ－30°)．
因为α∈[0°，60°]，θ∈[0°，180°]，所以α－θ－30°∈[－210°，30°]，sin(α－θ－30°)∈，所以·∈.