2022版高考数学一轮复习-49-抛物线训练新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 49 抛物线训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习 49 抛物线训练新人教B版

年级：
姓名：

四十九　抛物线
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．(2021·银川一中高三模拟)若抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A．－ B．－
C． D．
B　解析：由抛物线的方程y＝－4x2，可得标准方程为x2＝－y，则焦点坐标为F，准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义可得－y0＋＝1，解得y0＝－.
2．(2020·湖南长沙第一中学第七次联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点．若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
D　解析：由题意得，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线x＝上，圆心到准线x＝－的距离等于6，即有＋＝6，解得p＝8.故选D.

3．(2020·湖北十堰第二中学二诊)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l1与抛物线C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线l2与x轴交于点P.若|PF|＝6，则|MN|＝(　　)
A．10 B．12
C．14 D．16
B　解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知直线MN：y＝x－，联立得y2－2py－p2＝0，则y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.设线段MN的中点为A(x0，y0)，则＝p＝y0，代入y＝x－中，解得x0＝p，故直线l2：y－p＝－.令y＝0，得x＝，故|PF|＝2p＝6，则y1＋y2＝6，y1y2＝－9，则|MN|＝|y1－y2|＝×6＝12.
4．(2020·绵阳市高三三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点作x轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为(－2,0)，且△ABM为直角三角形，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
B　解析：设点A位于第一象限，直线AB的方程为x＝.联立可得所以点A.因为△ABM为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出|AM|＝|BM|，所以直线AM的斜率为1，即kAM＝＝1，解得p＝4.
因此，以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.
5．(多选题)(2020·济宁市高三一模)已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则(　　)
A．抛物线C的方程是y2＝－8x
B．抛物线的准线方程是y＝2
C．直线MN的方程是x－y＋2＝0
D．△MON的面积是8
AD　解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中点到y轴的距离为6，所以－＝6，所以x1＋x2＝－12，所以p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝－8x，故A项正确．
抛物线C的准线方程是x＝2，故B项错误．
设直线l的方程是x＝my－2，联立
消去x得y2＋8my－16＝0，则
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1.
故直线l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C项错误．
S△MON＝|OF|·|y1－y2|＝×2·＝＝8，
故D项正确．
6．(2020·池州市高三一模)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，P是抛物线C在x轴上方一点，以P为圆心，3为半径的圆过点F，且被y轴截得的弦长为2，则抛物线C的方程为____________．
y2＝4x　解析：设P(x0，y0)，由抛物线的定义知|PF|＝＋x0＝3，则点P到y轴的距离为x0＝3－>0.由垂径定理知，5＋2＝9，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
7．(2020·宜宾高三月考)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
6　解析：如图所示，不妨设点M位于第一象限，

设抛物线的准线与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－2，则 |AN|＝2，|FF′|＝4.在直角梯形ANFF′中，|BM|＝＝3.由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝3.结合题意，有|MN|＝|MF|＝3，故|FN|＝|FM|＋|NM|＝3＋3＝6.
8．(2020·西安中学高三模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F斜率为的直线l′与抛物线C交于点M(M在x轴的上方)，过M作MN⊥l于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则＝________.
2　解析：由抛物线定义可得|MF|＝|MN|，又斜率为的直线l′倾斜角为，MN⊥l，
所以∠NMF＝，即△MNF为正三角形．因此NF的倾斜角为.由解得x＝或x＝(舍)，即xQ＝，＝＝2.
9．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF||BF|＝13，求k的值．
解：(1)因为M(p，p－1)是C上的点，所以p2＝2p(p－1)．因为p>0，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得x2－4kx－8＝0，Δ＝16k2＋32>0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8.
由抛物线的定义知，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，则|AF||BF|＝(y1＋1)·(y2＋1)＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9＝13，解得k＝±1.
B组　新高考培优练
10．(2020·邯郸一模)抛物线y2＝8x的焦点为F.设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝|AB|，则∠AFB的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
D　解析：设|AF|＝m，|BF|＝n.
因为|AF|＋|BF|＝|AB|，
所以|AB|≥2，所以mn≤|AB|2，当且仅当m＝n时等号成立．
在△AFB中，由余弦定理得
cos ∠AFB＝
＝
＝≥－，
所以∠AFB的最大值为.
11．(2020·福建质量检测)设抛物线E：y2＝6x的弦AB过焦点F，|AF|＝3|BF|，过A，B分别作E的准线的垂线，垂足分别是A′，B′，则四边形 AA′B′B的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
C　解析：(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为F，所以，可设直线AB的方程x＝my＋.代入E的方程，整理得y2－6my－9＝0，故y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，不妨设y1>y2.因为|AF|＝3|BF|，所以y1＝－3y2，解得y1＝3，y2＝－，m＝，所以A，B.
故|AA′|＝＋＝6，|BB′|＝＋＝2，|A′B′|＝|y1－y2|＝4，故四边形AA′B′B的面积为(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝×(6＋2)×4＝16.
(方法二)设弦AB与x轴的夹角为θ，则有|AF|＝＝，|BF|＝＝，所以＝3×，所以cos θ＝，故θ＝60°.故|AA′|＝|AF|＝6，|BB′|＝|BF|＝2，|A′B′|＝|AB|sin θ＝4，
所以直角梯形AA′B′B的面积为(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝×(6＋2)×4＝16.
(方法三)如图所示，作BG⊥AA′，垂足为G，连接A′F.

设|BF|＝m，则|AF|＝3m.
由抛物线的定义知 |AA′|＝3m，
|A′G|＝|BB′|＝|BF|＝m，
所以|AB|＝4m，|AG|＝2m，
所以∠BAA′＝60°，
即△FAA′为正三角形，故∠B′A′F＝30°，故|AA′|＝|A′F|＝2p＝6＝3m，解得m＝2.
故|AA′|＝6，|BB′|＝2，|A′B′|＝4，
所以四边形AA′B′B的面积为(|AA′|＋|BB′|)·|A′B′|＝×(6＋2)×4＝16.
12．(多选题)已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，且OA⊥OB，下列结论中正确的是(　　)
A．|OA|·|OB|≥2
B．|OA|＋|OB|≥2
C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点
D．O到直线AB的距离小于或等于1
ABD　解析：设A(x1，x)，B(x2，x)(x1≠0，x2≠0)．
∵OA⊥OB，∴·＝0，
∴·＝(x1，x)·(x2，x)＝x1x2＋xx＝x1x2(1＋x1x2)＝0，
∴1＋x1x2＝0，∴x2＝－，
∴|OA|·|OB|
＝
＝
＝
≥＝2，当且仅当x＝，即x1＝±1时等号成立，故选项A正确．
又|OA|＋|OB|≥2≥2，故选项B正确．
∵直线AB的斜率为＝x2＋x1＝x1－，
∴直线AB的方程为y－x＝ (x－x1)．当x＝0时，y＝1，焦点坐标不满足直线AB的方程，故选项C错误．
原点(0,0)到直线AB：x－y＋1＝0 的距离d＝≤1，故选项D正确．
13．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
－1　解析：如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1.连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1.由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.

14．设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1,1)．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若B，C为抛物线E上的两个动点(异于点A)，且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围．
解：(1)依题意得F，设A(x0，y0)．
由AF的中点坐标为(1,1)，得
即x0＝2，y0＝2－，所以4＝2p，
得p2－4p＋4＝0，解得p＝2.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y.
(2)由题意知A(2,1)．设B，C，则kBA＝＝(x1＋2)．
因为x1≠－2，所以kBC＝－，所以BC所在直线方程为y－＝(x－x1)．
联立
因为x≠x1，得(x＋x1)(x1＋2)＋16＝0，
即x＋(x＋2)x1＋2x＋16＝0.
因为Δ＝(x＋2)2－4(2x＋16)≥0，
即x2－4x－60≥0，故x≥10或x≤－6.
经检验，当x＝－6时，不满足题意．
所以点C的横坐标的取值范围是(－∞，－6)∪[10，＋∞)．
15．(2020·厦门一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上．若|AO|＝|AF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l与抛物线C交于点P，Q.若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．
解：(1)因为点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝，所以点A的纵坐标为.所以＋＝.所以p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b.
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0.所以0<b≤1.
所以S△OPQ＝b|x1－x2|＝b·＝b＝b＝·(0<b≤1)．
设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.