2022版高考数学一轮复习-第六章-不等式-第四讲-基本不等式学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第四讲 基本不等式学案 新人教版

2022版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第四讲 基本不等式学案 新人教版

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第四讲　基本不等式

知识梳理·双基自测

知识点一　重要不等式
a2＋b2≥_2ab__(a，b∈R)(当且仅当_a＝b__时等号成立)．
知识点二　基本不等式≤(均值定理)
(1)基本不等式成立的条件：_a>0，b>0__；
(2)等号成立的条件：当且仅当_a＝b__时等号成立；
(3)其中叫做正数a，b的_算术平均数__，叫做正数a，b的_几何平均数__.
知识点三　利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)

　常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)．(当且仅当a＝b时取等号)
(2)ab≤2(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(3)2≤(a，b∈R)．(当且仅当a＝b时取等号)
(4)＋≥2(a，b同号)．(当且仅当a＝b时取等号)．
(5)≤≤≤(a，b>0当且仅当a＝b时取等号)．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　×　)
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　√　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　×　)
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　×　)
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　√　)
题组二　走进教材
2．(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋(　D　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
[解析]　因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2.
3．(必修5P100练习T3改编)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　B　)
A．a<b<<　　 B．a<<<b
C．a<<b<　　 D．<a<<b
[解析]　解法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<＝<＝1.5<b＝2.
解法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B．
4．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_25__m2.
[解析]　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0<x<10，
∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
题组三　走向高考
5．(2020·江苏，12,5分)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是___.
[解析]　由5x2y2＋y4＝1知y≠0，∴x2＝，∴x2＋y2＝＋y2＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝，x2＝时取“＝”．故x2＋y2的最小值为.
6．(2019·天津，13)设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为___.
[解析]　＝＝＝2＋.
∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y≥2，解得0<xy≤2，
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2且y＝1时“＝”成立．
此时≥，∴2＋≥2＋＝，
故的最小值为.

考点突破·互动探究
考点一　利用基本不等式求最值——多维探究
角度1　拼凑法求最值
例1 (1)(2020·天津，14,5分)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为_4__.
(2)(2021·吉林模拟)已知x>2，若f(x)＝x＋在x＝n处取得最小值，则n＝(　B　)
A．　　 B．3　　
C．　　 D．4
(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a，b>1，且满足ab－a－b＝5，则2a＋3b的最小值为_17__.
[解析]　(1)＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，也即a＋b＝4时取等号．又∵ab＝1，∴或时取等号，∴＋＋的最小值为4.
(2)由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号，故选B．
(3)由ab－a－b＝5⇒6＝(a－1)(b－1)
⇒36＝(2a－2)(3b－3)≤2
则2a＋3b≥17，当且仅当a＝4，b＝3取最小值．
[引申]f(x)＝x＋的值域为_(－∞，0]∪[4，＋∞)__.
[解析]　f(x)＝(x－2)＋＋2，
∵|(x－2)＋|＝|x－2|＋≥2
(当且仅当|x－2|＝1即x＝3或1时取等号)
∴(x－2)＋≥2或x－2＋≤－2，
∴f(x)≥4或f(x)≤0，
即f(x)的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．

名师点拨
拼凑法求最值的技巧
(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．
(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．
角度2　换元法求最值
例2 (1)已知x>，求函数y＝的最小值；
(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a，b∈R＋，且a＋2b＝ab－16，则ab的最小值为(　B　)
A．16　　 B．32
C．64　　 D．128
[思路]　(1)通过换元转化为形如Ax＋＋C形式的函数．
[解析]　(1)设4x－5＝t，则x＝.∵x>，∴t>0.
∴y＝＝
＝t＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当t＝1即x＝时，上式取“＝”号．
∴x＝时，ymin＝5.
(2)ab－16＝a＋2b≥2，令＝t，
则t2－2t－16≥0⇒t≥＝4，
故ab≥32，即ab最小值为32.(当且仅当a＝8，b＝4时取等号)故选B．
[答案]　(1)5
角度3　常数代换法求最值
例3 (1)已知正数x，y满足x＋2y＝4，则＋最小值为_2__；
(2)已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值为_18__.
[思路]　(2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值．
[解析]　(1)＋＝(x＋2y)×＝≥＝2.
当且仅当＝，即⇒时取等号．
(2)解法一：x＋2y＝·(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时“＝”成立，故x＋2y的最小值是18.
解法二(消元法)：由＋＝1，得y＝，由y>0⇒>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋2＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，当且仅当x－8＝，即x＝12(x＝4舍去)，y＝3时，“＝”成立，故x＋2y的最小值为18.

名师点拨
常数代换法的技巧
(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．
(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x、y满足x＋y＝1，则＋的最小值为(　B　)
A．2　　 B．　　
C．　　 D．5
(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x，y满足x＋5y＝3xy，则5x＋y的最小值为_12__；
(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a>0，b>0，且＋＝1，求a＋b的最小值_3__.
[解析]　(1)∵x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，
则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，
所以＋≥，
当且仅当，即当时取等号
∴＋的最小值为，故选B．
(2)∵x>0，y>0，x＋5y＝3xy，即＋＝3，
∵5x＋y＝(5x＋y)
＝
≥＝12，
(当且仅当x＝y＝2时取等号)
∴5x＋y的最小值为12，
另解：∵x>0，y>0，x＋5y＝3xy，即x＝，
令3y－1＝t，则y＝，(t>0)，
∴5x＋y＝＋y＝＋
＝＋≥＋＝12.
(当且仅当t＝5，即x＝y＝2时取等号)
∴5x＋y的最小值为12.
(3)∵a>0，b>0，且＋＝1，
∴a＋b＝[(a＋1)＋b]－1＝[(a＋1)＋b]－1
＝＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a＋1＝b，即a＝1，b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为3，
另解：(换元法)由＋＝1得b＝1＋，(a>0)，
∴a＋b＝a＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当a＝1，b＝2时取等号，
∴a＋b的最小值为3.
考点二　利用基本不等式求参数的范围——师生共研
例4 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则
(1)ab的取值范围是_[9，＋∞)__；
(2)a＋b的取值范围是_[6，＋∞)__.
[解析]　(1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.
∴t≥3即≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2.
令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．

名师点拨
利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．
另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b＝>0，∴a－1>0，∴a＋b＝a＋＝a＋＝a＋1＋＝(a－1)＋＋2≥6.当且仅当a＝b＝3时取等号．
〔变式训练2〕
(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是_4__.
[解析]　解法一：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8.
∴(2y＋1)(x＋1)＝9且x＋1>0,2y＋1>0
∴x＋2y＝(2y＋1)＋(x＋1)－2≥2－2＝4.(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4.
解法二：∵x>0，y>0，∴2xy≤2＝2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
又x＋2y＋2xy＝8，
∴x＋2y＋2≥8，
∴(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，
∴x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4
(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4.
解法三：∵x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，
∴x＝＝－1，
∴x＋2y＝＋(2y＋1)－2≥2－2＝4(当且仅当y＝1时取等号)
∴x＋2y的最小值为4.
秒杀解法：x＋2y＋2xy＝8，即x＋2y＋x·2y＝8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x＝2y＝2时x＋2y取最小值为4.
考点三　利用基本不等式解决实际问题——师生共研
例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a︰b＝1︰2，则S的最大值为_1_568__.

[解析]　由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x －8)＝1 808－3x－y
＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.

名师点拨
应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用
它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．
〔变式训练3〕
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m．如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为_160__m.
[解析]　设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m，
由题意可得水池总造价
f(x)＝150×＋120
＝240 000＋720(x>0)，
则f(x)＝720＋240 000
≥720×2＋240 000
＝720×2×40＋240 000＝297 600，
当且仅当x＝，即x＝40时，f(x)有最小值297 600，
此时另一边的长度为＝40(m)，
因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.

名师讲坛·素养提升
基本不等式的综合应用
角度1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例6 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是___.
[解析]　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号，所以的最小值是.
角度2　求参数值或取值范围
例7 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　B　)
A．2　　 B．4　　
C．6　　 D．8
[解析]　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵1＋a＋＋≥a＋2＋1，当且仅当y＝x时，等号成立，∴a＋2＋1≥9，∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4，故选B．

名师点拨
求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
〔变式训练4〕
(1)(角度1)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　B　)
A．10　　 B．9　　
C．8　　 D．3
(2)设x>0，y>0，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是_－4__.
[解析]　(1)由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，
所以f′(1)＝2a＋b＝2，
所以＝＋＝(2a＋b)
＝≥
＝(10＋8)＝9，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为9，故选B．
(2) 原问题等价于≥－恒成立，
∵x>0，y>0，∴等价于m≥－(x＋y)的最大值．
而－(x＋y)＝－2－≤－2－2＝－4，当且仅当x＝y时取“＝”，故m≥－4.