2022版高考数学一轮复习-第六章-不等式-第四讲-基本不等式学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第四讲 基本不等式学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第六章 不等式 第四讲 基本不等式学案 新人教版年级：姓名：第四讲基本不等式知识梳理双基自测知识点一重要不等式a2b2_2ab_(a，bR)(当且仅当_ab_时等号成立)知识点二基本不等式(均值定理)(1)基本不等式成立的条件：_a0，b0_；(2)等号成立的条件：当且仅当_ab_时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的_算术平均数_，叫做正数a，b的_几何平均数_.知识点三利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)(当且仅当ab时取等号)(2)ab2(a，bR)(当且仅当ab时取等号)(3)2(a，bR)(当且仅当ab时取等号)(4)2(a，b同号)(当且仅当ab时取等号)(5)(a，b0当且仅当ab时取等号)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(2)“x0且y0”是“2”的充要条件()(3)(ab)24ab(a，bR)()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二走进教材2(必修5P100练习T1改编)若x0，则x(D)A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2解析因为x0，x2，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.3(必修5P100练习T3改编)设0ab，则下列不等式中正确的是(B)AabBabCabDab解析解法一(特值法)：代入a1，b2，则有0a11.5b2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B4(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_25_m2.解析设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为(202x)(10x)m，其中0x0，y0，x2y4，则的最小值为_.解析2.x0，y0，4x2y2，解得00，b0，且ab1，则的最小值为_4_.(2)(2021吉林模拟)已知x2，若f(x)x在xn处取得最小值，则n(B)AB3CD4(3)(2021重庆南开中学质检)已知实数a，b1，且满足abab5，则2a3b的最小值为_17_.解析(1)24，当且仅当，即(ab)216，也即ab4时取等号又ab1，或时取等号，的最小值为4.(2)由f(x)x(x2)24，当且仅当x20，即x3时，取得等号，故选B(3)由abab56(a1)(b1)36(2a2)(3b3)2则2a3b17，当且仅当a4，b3取最小值引申f(x)x的值域为_(，04，)_.解析f(x)(x2)2，|(x2)|x2|2(当且仅当|x2|1即x3或1时取等号)(x2)2或x22，f(x)4或f(x)0，即f(x)的值域为(，04，)名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性(2)求乘积的最值同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数角度2换元法求最值例2 (1)已知x，求函数y的最小值；(2)(2021百校联盟尖子生联考)已知a，bR，且a2bab16，则ab的最小值为(B)A16B32C64D128思路(1)通过换元转化为形如AxC形式的函数解析(1)设4x5t，则x.x，t0.yt3235.当且仅当t1即x时，上式取“”号x时，ymin5.(2)ab16a2b2，令t，则t22t160t4，故ab32，即ab最小值为32.(当且仅当a8，b4时取等号)故选B答案(1)5角度3常数代换法求最值例3 (1)已知正数x，y满足x2y4，则最小值为_2_；(2)已知正数x，y满足1，则x2y的最小值为_18_.思路(2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值解析(1)(x2y)2.当且仅当，即时取等号(2)解法一：x2y(x2y)1010218，当且仅当即时“”成立，故x2y的最小值是18.解法二(消元法)：由1，得y，由y00，又x0x8，则x2yxxx2(x8)1021018，当且仅当x8，即x12(x4舍去)，y3时，“”成立，故x2y的最小值为18.名师点拨常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值(2)利用常数代换法求解最值应注意：条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解变式训练1(1)(角度1)(2021宁夏银川一中月考)已知正数x、y满足xy1，则的最小值为(B)A2BCD5(2)(角度2)(2021山东师大附中模拟)若正数x，y满足x5y3xy，则5xy的最小值为_12_；(3)(角度3)(2020天津七校期中联考)已知a0，b0，且1，求ab的最小值_3_.解析(1)xy1，所以x(1y)2，则2x(1y)5259，所以，当且仅当，即当时取等号的最小值为，故选B(2)x0，y0，x5y3xy，即3，5xy(5xy)12，(当且仅当xy2时取等号)5xy的最小值为12，另解：x0，y0，x5y3xy，即x，令3y1t，则y，(t0)，5xyy12.(当且仅当t5，即xy2时取等号)5xy的最小值为12.(3)a0，b0，且1，ab(a1)b1(a1)b11213，当且仅当a1b，即a1，b2时取等号，ab的最小值为3，另解：(换元法)由1得b1，(a0)，aba1213，当且仅当a1，b2时取等号，ab的最小值为3.考点二利用基本不等式求参数的范围师生共研例4 若正数a，b满足abab3，则(1)ab的取值范围是_9，)_；(2)ab的取值范围是_6，)_.解析(1)abab323，令t0，t22t30，(t3)(t1)0.t3即3，ab9，当且仅当ab3时取等号(2)abab3，ab32.令tab0，t24t120，(t6)(t2)0.t6即ab6，当且仅当ab3时取等号名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b0，a10，abaaa1(a1)26.当且仅当ab3时取等号变式训练2(2020黑龙江哈尔滨三中期中)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_4_.解析解法一：x0，y0，x2y2xy8.(2y1)(x1)9且x10,2y10x2y(2y1)(x1)2224.(当且仅当x2，y1时取等号)x2y的最小值为4.解法二：x0，y0，2xy22(当且仅当x2，y1时取等号)又x2y2xy8，x2y28，(x2y4)(x2y8)0，x2y40，即x2y4(当且仅当x2，y1时取等号)x2y的最小值为4.解法三：x0，y0，x2y2xy8，x1，x2y(2y1)2224(当且仅当y1时取等号)x2y的最小值为4.秒杀解法：x2y2xy8，即x2yx2y8.由条件及结论关于x、2y的对称性知当x2y2时x2y取最小值为4.考点三利用基本不等式解决实际问题师生共研例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中ab12，则S的最大值为_1_568_.解析由题意可得xy1 800，b2a，x3，y3，则yab33a3，所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x 8)1 8083xy1 8083x1 8081 80821 8082401 568，当且仅当3x，即x40，y45时等号成立，S取得最大值，所以当x40，y45时，S取得最大值为1 568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：仔细阅读题目，深刻理解题意；找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；利用基本不等式求出最值；再还原成实际问题，作出解答变式训练3某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3，深度为3 m如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为_160_m.解析设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m，由题意可得水池总造价f(x)150120240 000720(x0)，则f(x)720240 0007202240 000720240240 000297 600，当且仅当x，即x40时，f(x)有最小值297 600，此时另一边的长度为40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.名师讲坛素养提升基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6 设等差数列an的公差为d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_.解析ana1(n1)dn，Sn，所以，当且仅当n4时取等号，所以的最小值是.角度2求参数值或取值范围例7 已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(B)A2B4C6D8解析已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只要求(xy)的最小值大于或等于9，1aa21，当且仅当yx时，等号成立，a219，2或4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4，故选B名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围变式训练4(1)(角度1)已知函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的斜率为2，则的最小值是(B)A10B9C8D3(2)设x0，y0，不等式0恒成立，则实数m的最小值是_4_.解析(1)由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2ab2，所以(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成立，所以的最小值为9，故选B(2) 原问题等价于恒成立，x0，y0，等价于m(xy)的最大值 而(xy)2224，当且仅当xy时取“”，故m4.