高中数学椭圆参数方程几点应用技术.doc

椭圆的参数方程的几点应用
贵州省习水县第一中学　袁嗣林
椭圆的参数方程是（α是参数，）。

特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r>0）。下面就应用做一些归纳。

1.参数方程在求最值上的应用

例1  求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。

分析：此题可以设矩形长为x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。

解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。

，

当且仅当时，，，此时α存在。

点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难度。

例2  设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。

分析：此题可以设点P（x，y）,然后代入椭圆方程（1），然后利用点到直线的距离公式把d表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。

解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且），

则。

当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。

点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。

2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用

例3  椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。

分析：如果按常规设p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。

解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。

则。而OP⊥AP，

于是，整理得

解得（舍去），或。

因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。

点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。

4 / 4