2020届虹口区高考数学一模..doc

一、填空题
上海市虹口区 2020 届高三一模数学试卷 2019.12

1. 设全集 U=R，若 A = ìx | 2x - 1 > 1ü ，则C A =
í x ý U
î þ
2. 若复数 z = 3 - i （i 为虚数单位），则 z =
1 + i

3. 设 x Î R+ ，则 x +
2

x + 1

的最小值为

4. 若 sin 2x
2 cos x
cos x
= 0 ，则锐角 x =
1

5. 设等差数列{an } 的前 n 项和 Sn ，若a2 + a7 = 12 ， S4 = 8 ，则an =

6. 抛物线 x2 = 6 y 的焦点到直线3x + 4 y - 1 = 0 的距离为

7. 设(2x -1)(x -1)6 = a + a x + a x2 + + a x7 ，则a =
0 1 2 7 5

2
8. 设 f -1 ( x) 为函数 f ( x) = log (4x -1) 的反函数，则当 f ( x) = 2 f -1 ( x) 时， x 的值为
9. 已知 m、n 是平面a 外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n//a ；③m⊥ a ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：
2
10. 如图所示，两块斜边长均等于 的直角三角板拼在一起，则OD × AB =

x 2
2
11. 如图， F1 , F2 分别是双曲线C : a2 - y
= 1的左、右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交

于 A、B 两点，若 F2 A = AB ， F1B × F2 B = 0 ，则双曲线 C 的焦距 F1F2 为

12. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R，当 x Î(0, 2] 时，f ( x) = x (2 - x) ，且对任意的 x ÎR，均有 f ( x + 2) = 2 f (x) ，

若不等式 f ( x) £ 15 在 x Î(-¥, a]上恒成立，则实数a 的最大值为
2

二、选择题
13. 设 x ÎR，则“ x -1 < 1 ”是“ x2 < 4 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 已知函数 f (x) = 3 sin(2x +q ) + cos(2x + q ) 为偶函数，且在é0, p ù 上为增函数，则q 的一个值可以是
ëê 2 úû
（ ）
A. p B. p C. 2p D. - 2p
6 3 3 3

íï g ( x)
15. 已知函数 f (x) = x + 2 ， g ( x) = x + t ，定义函数 F ( x) = ìï f ( x)
î
f ( x) £ g ( x)
( ) ( )
，若对任意的 x ÎR，都有
f x > g x

F ( x) = F (2 - x) ，则 t 的取值为（ ）

A. -4
B. -2
C. 0 D. 2

16. 正四面体 ABCD 的体积为 1，O 为其中心，正四面体 EFGH 与正四面体 ABCD 关于点 O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）

A. 1 3

三、解答题
B. 1 2
C. 2 3
D. 3 4

17. 在

（1） 角 B；
中， a = 8,b = 6, cos A = - 1 ，求：
ABC
3

（2） BC 边上的高.

18. 如图，在圆柱OO1 中，它的轴截面 ABB1 A1 是一个边长为 2 的正方形，点 C 为棱 BB1 的中点，点C1 为弧

A1B1 的中点，求：

（1） 异面直线 OC 与 A1C1 所成角的大小；

（2） 直线CC1 与圆柱OO1 底面所成角的大小；

（3） 三棱锥C1 - OA1C 的体积.

19. 某企业接到生产 3000 台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这 3 种部件的数量分别为２、２、１（单位：件），已知每个工人每天可生产甲部件６件，或乙部件３件，或丙部件２件，该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这 3 种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例， 比例系数为 k（ k ³ 2 为正整数）.
（1） 设生产甲部件的人数为 x ，分别写出完成甲、乙、丙 3 种部件生产需要的时间；
（2） 假设这 3 种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

20. 已知两点 F1 (-
3, 0)、 F2 (
3,0) ，设圆O : x2 + y2 = 4 与 x 轴交于 A、B 两点，且动点 P 满足：以线段

F2 P 为直径的圆与圆 O 相内切，如图所示，记动点 P 的轨迹为G ，过点 F2 与 x 轴不重合的直线 l 与轨迹
G 交于 M、N 两点.
（1） 求轨迹G 的方程；
（2） 设线段 MN 的中点为 Q，直线 OQ 与直线 x = 4 3 相交于点 R，求证： F R ^ l ；
3 2

ABN
（3） 记 ABM 、
面积分别为 S1 、 S2 ，求 S1 - S2 的最大值及此时直线 l 的方程.

21. 在数列{a } 中， a = 0 ，且对任意的m Î N* ， a , a , a

构成以 2m 为公差的等差数列.

n 1 2m-1 2m 2m+1

（1） 求证： a4 、 a5 、 a6 成等比数列；

（2） 求数列{an } 的通项公式；

22
（3） 设 Sn = a
+ 32 +
+ n2
an
a
，试问 Sn - 2n 是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.

2 3

参考答案

一、填空题

5
1. [0,1] 2.


3. 2

-1 4. p 5. 2n-3 6. 1 7. 36 8. 1
2
4

9. 若②③，则① 10. -1
11. 4 3
3
12. 27
4

二、选择题
13. A 14. D 15. A 16. B

三、解答题
2
17.（1） p ；（2） 4 -
4
18.（1） p ；（2） arcsin 3
3 3

19.（1） 1000 , 2000 ,
x x
3
x2 2
1500
200 - x - kx
；（2） k=2，A44 人，B88 人，C68 人

20.（1） + y
= 1 - 1 + 1 - 1 +
2 4 4 6
= 1
2
4
= 1 ；（2）证明略；（3） 3, x ± 2 y - = 0
n2 -1 n2

21.（1） a4 = 8, a5 =12, a6 =18 ；（2）当 n 为奇数， an =
2 ，当 n 为偶数， an = 2

（3）裂项， lim(S
- 2n) =
2 + 2 +

n®¥ n
32 -1 52 -1