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2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研 专题六 解析几何 第一讲 课时跟踪检测直线与圆

2021届高考数学二轮总复习 第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研 专题六 解析几何 第一讲 课时跟踪检测直线与圆

年级：
姓名：

第一部分　高考层级专题突破
层级二　7个能力专题　师生共研
专题六　解析几何
第一讲　直线与圆
课时跟踪检测(十六)　直线与圆
一、选择题
1．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ky－3＝0平行，则实数k的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：选A　∵直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ky－3＝0平行，
∴＝≠，
解得k＝－2.故选A．
2．已知点P与点Q(1，－2)关于直线x＋y－1＝0对称，则点P的坐标为(　　)
A．(3,0) B．(－3,2)
C．(－3,0) D．(－1,2)
解析：选A　设P的坐标为(a，b)，则PQ的中点坐标为，
若点P与Q(1，－2)关于x＋y－1＝0对称，
则
解得a＝3，b＝0，
则点P的坐标为(3,0)，故选A．
3．(2019·成都模拟)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　化圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0为(x＋1)2＋(y－a)2＝a2＋1，圆心坐标为C(－1，a)，半径为.
如图，由题意可得，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x－y＝0垂直，则＝－，即a＝3.故选B．

4．(2019·宜宾模拟)已知直线l1：3x＋y－6＝0与圆心为M(0,1)，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为(　　)
A．5 B．10
C．5＋5 D．5－5
解析：选A　以M(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，
联立解得A(2,0)，B(1,3)，
∴AB的中点为.
而直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0恒过定点，
∴|AB|＝＝.
要使四边形的面积最大，只需l2过圆心即可，即CD为直径，此时CD⊥AB，
∴四边形ACBD的面积最大值为S＝××2＝5.故选A．
5．(2019·兴庆区校级一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　)
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
解析：选B　根据题意，要求直线与3x＋4y＝0垂直，设其方程为4x－3y＋m＝0，
若该直线与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则有＝2，
解得m＝6或－14，
即要求直线的方程为4x－3y＝－6或4x－3y＝14，故选B．
6．(2019·袁州模拟)已知点A(0，)，B(3,2)，若圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为，则r的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
解析：选A　根据题意，A(0，)，B(3,2)，则|AB|＝＝2，
若△MAB和△NAB的面积均为，则M，N到直线AB的距离相等，
设M，N到直线AB的距离均为d，则有×2×d＝，则d＝1，
又由A(0，)，B(3,2)，
则直线AB的方程为x－y＋3＝0，
若圆C上有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为，则直线MN与AB平行，
且圆心C到直线AB的距离d′＝＝2，
分析可得：1<r<3，即r的取值范围为(1,3)．故选A．
二、填空题
7．(2019·凉山州模拟)已知直线l1：ax＋y＋2＝0，直线l2：x＋y＝0，若l1⊥l2，则a＝________.
解析：直线l1：ax＋y＋2＝0，直线l2：x＋y＝0，
若l1⊥l2，则1·a＋1×1＝0，解得a＝－1.
答案：－1
8．(2019·常熟市校级月考)已知直线l过两直线x＋2y＋4＝0和2x＋3y－8＝0的交点，且过点(0,1)，则直线l的方程为______________．
解析：直线l过两直线x＋2y＋4＝0和2x＋3y－8＝0的交点，且过点(0,1)，
联立得x＝28，y＝－16，
∴直线l过点(28，－16)，(0,1)，
∴直线l的方程为＝，即17x＋28y－28＝0.
答案：17x＋28y－28＝0
9．(2019·呼和浩特一模)已知直线y＝－x－3与x，y轴分别交于A，B两点，动点P在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则△ABP面积的最大值为________．
解析：根据题意，直线y＝－x－3与x，y轴分别交于A，B两点，
则A(－4,0)，B(0，－3)，且|AB|＝5，
动点P在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，当△ABP的面积最大时，P到直线AB的距离最大，
圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1；
直线y＝－x－3即3x＋4y＋12＝0，
则P到直线AB的距离最大值为d＋r＝＋1＝，
则△ABP面积的最大值为×|AB|×＝12.
答案：12
三、解答题
10．(2019·泸州模拟)已知圆C的圆心在直线x－2y＝0上，且经过点M(0，－1)，N(1,6)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知点A(1,1)，B(7,4)，若P为圆C上的一动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围．
解：(1)设圆心C(a，b)，则a－2b＝0，即a＝2b，
由|MC|＝|NC|得＝，解得b＝2，a＝4，
∴圆的半径r＝5，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝25.
(2)设P(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝25，
即x2＋y2＝5＋8x＋4y，
则|PA|2＋|PB|2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(x－7)2＋(y－4)2＝2x2＋2y2－16x－10y＋67＝10＋16x＋8y－16x－10y＋67＝77－2y，
∵－3≤y≤7，
∴63≤77－2y≤83，
故|PA|2＋|PB|2的取值范围是[63,83]．
11．(2019·荆门模拟)已知直线l：x＋y＋4＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4，
由＝2得a＝0或a＝－8，
又圆心在直线l的右上方，故a＝0.
故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)设过点M(1,0)的直线方程为x＝ty＋1，由⇒(t2＋1)y2＋2ty－3＝0，
故y1＋y2＝，y1y2＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(m,0)，
由kAN＋kBN＝0⇒＋＝0⇒y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0⇒y1(ty2＋1－m)＋y2(ty1＋1－m)＝0，
即2ty1y2＋(1－m)(y1＋y2)＝0，
故2t·＋(1－m)＝0对任意t∈R恒成立，
即(8－2m)t＝0恒成立，故m＝4即N(4,0)．所以存在定点N，使得x轴平分∠ANB.N点坐标为(4,0)．
12．(2019·南平模拟)已知圆M满足：①被y轴分成两段圆弧，弧长的比为3∶1；②截x轴所得的弦长为2.
(1)求圆心M的轨迹方程；
(2)求圆心M到直线l：2x－y＝0的距离最小的圆的方程．
解：(1)设圆心M(x，y)，半径为r，
∵圆M被y轴分成两段圆弧的弧长比为3∶1，
∴圆心M到y轴的距离|x|＝.①
∵圆M截x轴所得的弦长为2，
∴圆心M到x轴的距离|y|＝，②
由①②消去r得2x2－y2＝1，即－y2＝1.
∴圆心M的轨迹方程为－y2＝1.
(2)设直线2x－y＋c＝0与双曲线－y2＝1相切．
联立方程组消y得2x2＋4cx＋c2＋1＝0，
令Δ＝16c2－8c2－8＝0，得c＝±1.
∴当c＝1时，方程组的解为
即切点坐标为(－1，－1)，
此时M(－1，－1)，r＝，
故圆M的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.
当c＝－1时，方程组的解为
即切点坐标为(1,1)，
此时M(1,1)，r＝.
故圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
∴圆心M到直线l：2x－y＝0的距离最小的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.