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2020-2021学年高中数学 第六章 计数原理 6.2.1 排列学案新人教A版选择性必修第三册

2020-2021学年高中数学 第六章 计数原理 6.2.1 排列学案新人教A版选择性必修第三册

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6.2　排列与组合
最新课标
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．

6.2.1　排列

[教材要点]
要点　排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
　(1)排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
(2)一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
(3)从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素不完全相同或元素完全相同而排列的顺序不同的排列，都不是同一个排列．
(4)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
[基础自测]
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　　)
(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　　)
(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　　)
(4)从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　　)
2.(多选题)下列问题中是排列问题的是(　　)
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
3.李老师要给4个同学轮流心理辅导，每个同学1次，则有(　　)种轮流次序．
A．6 B．12
C．24 D．48
4.从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．

题型一　排列的概念——自主完成
例1　判断下列问题是不是排列问题：
(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？
(3)有12个车站，共需准备多少种车票？
(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？

方法归纳
判断一个具体问题是不是排列问题，就是从n个不同元素中取出m个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列，而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．

跟踪训练1　(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛．
(2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛．
(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛．
在上述三个问题中，是排列问题的是________．
题型二　简单的排列问题——师生共研
例2　(1)某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是(　　)
A．24 B．22
C．20 D．12
(2)写出下列问题的所有排列：
①从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数．
②由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出．

方法归纳
利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
1.适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．

跟踪训练2　(1)若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是(　　)
A．12条 B．9条
C．8条 D．4条
(2)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．

易错辨析　混淆排列问题和分步问题
例3　6个人走进只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有________种不同的坐法．
解析：坐在椅子上的3个人是走进屋子的6个人中的任意3个人，若把人看成元素，将3把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从6个元素中取3个元素占据3个不同的位置，显然是从6个元素中任取3个元素的排列问题，从而，不同的坐法共有：6×5×4＝120(种).
答案：120
【易错警示】
易错原因
纠错心得
本题容易错认为不是排列问题，得到错解：6个人坐3把不同的椅子，相当于从含6个元素的集合到含3个元素的集合的映射，故有36种不同的坐法．
排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素是可以重复选取的．

6．2.1　排列
新知初探·课前预习
要点一
一定的顺序
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关； B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．故选AD.
答案：AD
3．解析：从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学．
按分步乘法计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24种．故选C.
答案：C
4．解析：12，13，21，23，31，32共6个．
答案：6
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长人选，与顺序有关，所以是排列问题．
(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关．
(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关．
(4)不是．只是选出3个座位，与顺序无关．
跟踪训练1　解析：对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．
答案：(1)
题型二
例2　解析：(1)分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有
语文、数学、外语
语文、外语、数学
数学、语文、外语
数学、外语、语文
外语、语文、数学
外语、数学、语文共6种排法，
所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．故选D.
(2)①所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数．
②画出树形图，如图所示．

由上面的树形图可知，所有的四位数为：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，共24个四位数．
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)画树形图如下：

故共有12条．故选A.
(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321.
答案：(1)A　(2)见解析