2021-2022学年高中数学-第6章-平面向量及其应用-6.4.1-6.4.2-平面几何中的向量方.docx

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例巩固练习新人教A版必修第二册2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例巩固练习新人教A版必修第二册年级：姓名：6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例课后训练巩固提升一、A组1.已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60,那么F1的大小为()A.53 NB.5 NC.10 ND.52 N解析:|F1|=10cos60=5.故选B.答案:B2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由题意知,AB=(3,3),DC=(2,2),所以ABDC.又因为|AB|DC|,所以四边形ABCD为梯形.答案:A3.在ABC中,AB=c,BC=a,且ca0,则ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定解析:ac2,则B=-2,B为锐角,ABC的形状无法确定.答案:D4.在RtABC中,ABC=90,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cosBDC=()A.-725B.725C.0D.12解析:如图,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),DB=(-3,-4),DC=(3,-4).又BDC为DB,DC的夹角,cosBDC=DBDC|DB|DC|=-9+1655=725.答案:B5.已知P为ABC内部任一点(不包括边界),且满足(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0,则ABC一定为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析:由题意,AB(CB+CA)=0,即AB边上的中线与AB垂直,故该三角形是等腰三角形.答案:D6.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为.解析:因为F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小为52+42=41(N).答案:41(5,4)7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且OA+OB=OC,其中O为坐标原点,则AOB=.解析:如图所示,由|OA|=|OB|=|OC|=1,OA+OB=OC,得四边形OACB为边长为1的菱形,且AOB=120.答案:1208.在四边形ABCD中,已知AB=(4,-2),AC=(7,4),AD=(3,6),则四边形ABCD的面积是.解析:BC=AC-AB=(3,6)=AD,四边形ABCD为平行四边形.又ABBC=43-26=0,平行四边形ABCD为矩形.|AB|=42+(-2)2=25,|BC|=32+62=35,S=|AB|BC|=2535=30.答案:309.如图所示,一物体受到两个大小均为60 N的力的作用,两力的夹角为60,且有一力方向水平,求合力的大小及方向.解:设向量OA,OB分别表示两力,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,OC即为合力.由已知可得OAC为等腰三角形,且COA=30.过点A作ADOC于点D,则在RtOAD中,|OD|=|OA|cos30=6032=303.故|OC|=2|OD|=603,即合力的大小为603N,方向与水平方向成30角.10.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,ACB=90,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.证明:ADCE=(AC+CD)(CA+AE)=AC+12CBCA+23AB=AC+12CBCA+23CB-23CA=AC+12CB13CA+23CB=-13|CA|2+13|CB|2.因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,即ADCE,故ADCE.二、B组1.已知点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)解析:点P的位移为5v=(20,-15).点P的起始位置为(-10,10),5秒后点P的位置为(10,-5).答案:C2.在ABC中,设O是ABC的外心,且AO=13AB+13AC,则BAC=()A.30B.45C.60D.90解析:因为AO=13AB+13AC,所以O也是ABC的重心.又因为O是ABC的外心,所以ABC是等边三角形,故BAC=60.答案:C3.在ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,若ab=bc=ca,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故ABC是等边三角形.答案:B4.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OCAB的值为()A.-15B.15C.-65D.65解析:因为3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+4OB=-5OC,所以9OA2+24OAOB+16OB2=25OC2.因为A,B,C在圆上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.代入原式得OAOB=0,所以OCAB=-15(3OA+4OB)(OB-OA)=-15(3OAOB+4OB2-3OA2-4OAOB)=-15.答案:A5.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.解析:如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则AOB=60.又|v2|=2,|v1|=|v2|tan60=23.即河水的流速是23km/h.答案:236.已知AOB,点P在直线AB上,且满足OP=2tPA+tOB(tR),则t=.解析:OP=2t(OA-OP)+tOB,(2t+1)OP=2tOA+tOB,OP=2t2t+1OA+t2t+1OB.A,B,P三点共线,2t2t+1+t2t+1=1,t=1.答案:17.有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船,现船沿与河岸成60角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设两岸平行,流速均匀.(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;(2)求这条河河水的流速.解:(1)如图,u是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60角的静水中的船速,则v与u的夹角为30.由题意知,u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形,其中OB=v,OC=u,OA=BC=w.由向量加法的三角形法则知,OC=OA+OB,即u=w+v.(2)|v|=10km/h,而|BC|=|OB|sin30=1012=5(km/h),这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.8.已知ABC是等腰直角三角形,ABC=90,D是BC边的中点,BEAD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:ADB=FDC.证明:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2).设AF=AC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2).又DA=(-1,2),由题设BFDA,所以BFDA=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=23.所以BF=43,23.所以DF=BF-BD=13,23.又DC=(1,0),所以cosADB=DADB|DA|DB|=55,cosFDC=DFDC|DF|DC|=55,又ADB,FDC(0,),所以ADB=FDC.