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271. 下列命题中正确的是（ ）．
A．平面a 和b 分别过两条互相垂直的直线，则a ⊥b
B．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条平行直线，则a ⊥b
C．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条相交直线，则a ⊥b
D．若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的无数条直线，则a ⊥b
解析：C．a 内的直线l垂直b 内的相交直线a、b，则l⊥b ．∵ la ，∴ a ⊥b ．
272. 设两个平面互相垂直，则（ ）．
A．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
解析：B．如图答9-38，在正方体中，平面⊥平面ABCD，其中平面，但不垂直平面ABCD，故A不正确．点D在交线AD上，，但不垂直平面ABCD，故C不正确．平面，AC平面ABCD，但与AC不垂直，故D不正确．
273. 如图9-43，∠AOB是二面角a -CD-b 的平面角，AE是△AOB的OB边上的高，回答下列问题，并说明理由：
（1）CD与平面AOB垂直吗?
（2）平面AOB与a 、b 垂直吗?
（3）AE与平面b 垂直吗?
解析：（1）∵ ∠AOB是二面角a -CD-b 的平面角，∴ OB⊥CD，OA⊥CD，∴ CD⊥平面AOB．
（2）∵ CD⊥平面AOB，CDa ，∴ a ⊥平面AOB．同理b ⊥平面AOB．
（3）∵ CD⊥平面AOB，∵ AE平面AOB，∴ CO⊥AE，又∵ AE⊥OB，CD∩OB=O，∴ AE⊥平面BCD，即AE⊥b ．
274. 如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC上的高AD为折痕，使△ABD和△ACD折成相垂直的两个面．求证：BD⊥CD，∠BAC=60°．
图9-44
解析：∵ AD是等腰△ABC底边BC上的高线，∴ AD⊥BD，AD⊥DC，∴ ∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，∵ 平面ABD⊥平面ACD，∴ ∠BDC=90°，即BD⊥DC．连结BC，设AD=a，则BD=DC=AD=a，，，，∴ △ABC是正三角形，∴ ∠BAC=60°
275. 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥β.
证明 过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a⊥b.
设相交直线a′、b确定一个平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α
276. 在三棱锥S—ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC.
证明 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S—AC—B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.
∴SO＝BO＝a.在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.
即平面SAC⊥平面ABC.
另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上.又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC[来源:学科网]
说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.
277. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A—BD—C、A—BC—D、B—AC—D的大小.
解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，
∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.
∴∠AOC是二面角A—BD—C的平面角
又AO＝OC＝1，AC＝，∴∠AOC＝90°.即二面角A—BD—C为直二面角.
(2)∵二面角A—BD—C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.
∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.
∵SΔOCB＝,SΔABC＝,∴cosθ＝.即二面角A—BC—D的大小是arccos.
(3)取AC的中点E，连BE、DE.∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.
在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-
∴二面角B—AC—D的大小是π-arccos.
评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.
[来源:Zxxk.Com]
278. 如图所示，在三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.
解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，
∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD，
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD.
而SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC.
∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a.[来源:学科网]
又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.[来源:学科网]
又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.
解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.[来源:学科网ZXXK]
由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE.
∵DE平面BDE，DC平面BDC.∴∠EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.[来源:学_科_网]
279. 在直三棱柱ABC—A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)
(1)求点C′到平面AB′C的距离；(2)求二面角B－B′C—A的余弦值.
解析：(1)∵ABC—A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的长是A′到平面AB′C的距离.
∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.即C′到平面AB′C的距离为；[来源:Zxxk.Com]
(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，则AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.
说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，
∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，则AM＝1，BN＝，
CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN与AM所成的角等于二面角B—B′C—A的平面角.设为θ.由AB2＝AM2+BN2+MN2-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.
280 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.
(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A—EB—D的平面角大小.
解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.
∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，
∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.
(2)EO∥PC，PC平面PBC，
∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.
作OF⊥BC于F，
∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.[来源:Zxxk.Com]
由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.
(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG ∵OE⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥平面BDE
∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角
∵OE＝PC＝a,OB＝a ∴EB＝a.∴OG＝＝a 又AO＝a.
∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan.
评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.
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