2021届高考数学统考二轮复习-增分强化练(三十二)圆锥曲线中的综合问题(理-含解析).doc

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练（三十二）圆锥曲线中的综合问题（理，含解析）

2021届高考数学统考二轮复习 增分强化练（三十二）圆锥曲线中的综合问题（理，含解析）

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增分强化练(三十二)
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两个动点，且线段PQ长度的最大值为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．
解析：(1)∵y2＝4x的焦点为(1,0)，
∴椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，
又|PQ|的最大值为4，因此|PQ|＝2a＝4，
∴a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当P，Q为椭圆顶点时，易得△OPQ的面积为×2×＝，
②当P，Q不是椭圆顶点时，设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，
由，得x2＝，所以|OP|＝ ，
由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－x，
所以|OQ|＝ ＝ ，
所以S△OPQ＝|OP|·|OQ|＝6
＝6 ＝6 ，
＝k2＋＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，
所以0<≤，所以≤S△OPQ<，
综上，△OPQ面积的最小值为.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P(，)满足1·2＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1·k2的值．
解析：(1)依题意F1(－c,0)，
∴1·2＝－c2＋3＝0，即c＝，
∵e＝＝，
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝k(x－)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(3k2－1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∵k1，k，k2成等比数列，
∴k1·k2＝k2＝＝，
则(x1＋x2)＝3，
即＝，
解得k2＝，
故k1k2＝.
3．已知抛物线C：y2＝2px(0<p<1)上的点P(m,1)到其焦点F的距离为.
(1)求C的方程；
(2)已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．
解析：(1)由题意，得2pm＝1，即m＝.
由抛物线的定义，得|PF|＝m－(－)＝＋.
由题意，知＋＝，解得p＝或p＝2(舍去)．
所以C的方程为y2＝x.
(2)证明：由(1)得P(1,1)．
设l：x＝ny＋t，由于直线l不过点P(1,1)，
所以n＋t≠1.
由消去x并整理得y2－ny－t＝0.
由题意，判别式Δ＝n2＋4t>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝n，①
y1y2＝－t，②
则kPAkPB＝·＝·＝.
由题意，得y1y2＋(y1＋y2)＋1＝1，
即y1y2＋(y1＋y2)＝0，③
将①②代入③得－t＋n＝0，即t＝n.
所以l：x＝n(y＋1)．显然l过定点(0，－1)．
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，长轴的长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F1的直线l与椭圆C交于E，D两点，试问：在x轴上是否存在定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)因为椭圆C的焦距为2，长轴的长为4，
所以2c＝2,2a＝4，解得c＝1，a＝2，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)，M(m,0)．
易知F1(－1,0)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)．
联立方程，得
得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又y1y2＝k2(x1＋1)(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝k2(－＋1)＝，
直线ME，MD的斜率kME＝，kMD＝，
则kME·kMD＝·＝
＝＝
＝
＝.
要使直线ME，MD的斜率之积为定值，需3m2－12＝0，
解得m＝±2.
当m＝2时，kME·kMD＝＝＝－；
当m＝－2时，
kME·kMD＝＝＝－.
当直线l的斜率不存在时，
不妨设E(－1，)，D(－1，－)，
此时，当m＝2时，M(2,0)，kME·kMD＝－；
当m＝－2时，M(－2,0)，kME·kMD＝－.
综上，在x轴上存在两个定点M，使得直线ME，MD的斜率之积为定值．
当定点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－；
当定点M的坐标为(－2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－.