2022届高考数学一轮复习-课后限时集训不等式的证明北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训不等式的证明北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训不等式的证明北师大版

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课后限时集训(七十七)　不等式的证明
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1．已知a＞0，b＞0，c＞0.
(1)求证：a4－a2b2＋b4≥；
(2)若abc＝1，求证：a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac.
[证明]　(1)要证a4－a2b2＋b4≥，
即证(a2＋b2)(a4－a2b2＋b4)≥ab(a4＋b4)，
即证a6＋b6≥a5b＋ab5，
即证a6＋b6－a5b－ab5≥0，
即证a5(a－b)－(a－b)b5≥0，
即证(a5－b5)(a－b)≥0，
该式显然成立，当且仅当a＝b时等号成立，
故a4－a2b2＋b4≥.
(2)由算术－几何平均不等式得a3＋b3＋c3≥3abc，
a3＋b3＋1≥3ab，b3＋c3＋1≥3bc，a3＋c3＋1≥3ac，
将上面四式相加，可得3a3＋3b3＋3c3＋3≥3abc＋3ab＋3bc＋3ac，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．
即a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac.
2．已知a，b为正实数．
(1)求证：＋≥a＋b；
(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0<x<1)的最小值．
[解]　(1)证明：因为＋－(a＋b)＝
＝＝.
又因为a>0，b>0，所以≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
所以＋≥a＋b.
(2)因为0<x<1，所以1－x>0，
由(1)的结论，y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．
所以函数y＝＋(0<x<1)的最小值为1.

1．已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.
求证：(1)＋＋ ≤ ；
(2)＋＋ ≥ .
[证明]　(1)因为由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时，等号成立，所以＋＋ ≤ .
(2)因为由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]· ≥ 2＝9(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)，
又a＋b＋c＝1，所以6 ≥9，
所以＋＋ ≥ .
2．已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.
(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；
(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．
[解]　(1)证明：∵f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，∴M＝2.
要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，
∵m，n∈[－2,2]，∴m2，n2∈[0,4]，
∴(m2－4)(4－n2)≤0，∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，
∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2|m＋n|≤|4＋mn|.
(2)由(1)得，a＋2b＝2，因为a，b∈(0，＋∞)，
所以＋＝(a＋2b)
＝≥＝4，
当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为4.