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2022届高考数学一轮复习 第九章 9.6 双曲线课时作业

2022届高考数学一轮复习 第九章 9.6 双曲线课时作业

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姓名：

课时作业52　双曲线
[基础达标]
一、选择题
1．[2021·开封市高三模拟试卷]关于渐近线方程为x±y＝0的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为.其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②B．①③
C．①②③D．②③④
2．[2021·合肥市高三调研性检测]已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1B.－＝1或－＝1
C.－＝1D.－＝1或－＝1
3．[2020·浙江卷]已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)
A.B.
C.D.
4．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]设双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cosα＝，则C的离心率为(　　)
A.B.
C.D．2
5．[2021·安徽安庆模拟]点F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，直线4x－y－12＝0与该双曲线交于两点P，Q，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝(　　)
A．4B．4
C．2D．2
6．[2021·唐山市高三年级摸底考试]双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则S△OPF＝(　　)
A.B.
C．1D．2
7．[2021·广州市高三年级阶段训练题]已知F1，F2是双曲线C：－y2＝1(a＞0)的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝，则△ABF2的内切圆的半径为(　　)
A.B.
C.D.
8．[2021·山西省八校高三联考]已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，双曲线E的一条渐近线上一点M满足||＝2b，若点M的坐标为，则双曲线E的实轴长为(　　)
A．2B．3
C．4D.
9．[2021·福建省高三毕业班质量检查测试]若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(1，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
10．[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4B．8
C．16D．32
二、填空题
11．[2021·武汉市高中毕业生学习质量检测]已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________________．
12．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
13．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知双曲线C1：－y2＝1，双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C1与C2的离心率相同，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，求双曲线C2的实轴长是________．
14．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，线段F2A垂直直线y＝x，垂足为点A，与双曲线交于点B，若＝，则该双曲线的离心率为________．
[能力挑战]
15．[2021·黄冈中学、华师附中等八校联考]在△ABC中，A，B分别是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若·＝0，(＋)·＝0，则双曲线E的离心率为(　　)
A.－1B.＋1
C.D.
16．[2021·河北省九校联考试题]已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.B.
C．(1，) D．(，＋∞)
17．[2021·江西省名校高三教学质量检测]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2的周长为24，则当ab2取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．1B.
C．2D．2

课时作业52
1．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故此双曲线为等轴双曲线，即a＝b，c＝a，则离心率e＝，故①②均正确．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×＝2a，故等于实轴长，③正确．不妨取一个顶点(a,0)，其到渐近线x±y＝0的距离d1＝＝a，焦点到渐近线的距离d2＝b，又a＝b，所以＝，故④错误．综上可知，正确结论的编号为①②③，故选C.
答案：C
2．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1；当焦点在y轴上时，＝，所以b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.综上所述，该双曲线的方程为－＝1或－＝1，故选D.
答案：D
3．解析：由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)，又y＝3，所以x2＝，y2＝，所以|OP|＝＝＝，故选D.
答案：D
4．解析：∵a＞b＞0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，且cosα＝，∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，∴＝，∴＝，∴e2＝，e＝.故选B.
答案：B
5．解析：因为双曲线x2－＝1的右焦点是F2(3,0)，所以直线4x－y－12＝0经过点F2(3,0)，又知P，Q两点在右支上，于是由双曲线定义可知，|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|－|F2P|＋|F1Q|－|F2Q|＝2a＋2a＝4.故选B.
答案：B
6．解析：由题意可知F(2,0)，双曲线C是等轴双曲线，所以其渐近线方程y＝±x，因为点P在渐近线上，且|PO|＝|PF|，所以点P(1,1)或P(1，－1)，所以S△OPF＝×2×1＝1，故选C.
答案：C
7．解析：由双曲线方程知b＝1.由通径公式，知＝，所以a＝，所以c＝.由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AF1|＋|BF1|＝5.设△ABF2的内切圆半径为r，则r·(|AF2|＋|BF2|＋|AB|)＝·|AB|·|F1F2|，即r·6＝×2，解得r＝，故选B.
答案：B
8．解析：由题意得，右焦点F(c,0)，由点M满足||＝2b，可得2＋＝4b2.由渐近线y＝x过点M，得a＝b，又c2＝a2＋b2，所以4b2＝c2，得2＋＝c2，所以c＝，从而a＝，故双曲线E的实轴长2a＝3，故选B.
答案：B
9．解析：不妨设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意可得双曲线的渐近线与x轴的夹角大于45°，即＞1，所以b2＞a2，所以c2－a2＝b2＞a2，所以c2＞2a2，所以该双曲线的离心率e＝＞.
答案：C
10．解析：直线x＝a与双曲线C的两条渐近线y＝±x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距2c的最小值为8，故选B.
答案：B
11．解析：由x±2y＝0得x2－4y2＝0，设所求双曲线的方程为x2－4y2＝λ，因为点(4,1)在双曲线上，所以42－4＝λ，即λ＝12，所以该双曲线的方程为x2－4y2＝12，故该双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
12．解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.
答案：(3,0)　
13．解析：解法一　双曲线C1：－y2＝1的离心率为.由题意知F2(c,0)，双曲线C2的一条渐近线方程为y＝x，可得|F2M|＝＝b，即有|OM|＝＝a，由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2且离心率e＝＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C2的实轴长为2a＝16.
解法二　依题意，由双曲线C1与C2的离心率相同，得＝，即a＝2b　①.由双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长，得|F2M|＝b，所以|OM|＝＝a.又△OMF2的面积为16，所以ab＝16，ab＝32　②，由①②解得b＝4，a＝8，故双曲线C2的实轴长为2a＝16.
答案：16
14．解析：解法一　由题意知，直线F2A的方程为y＝－(x－c)，与直线y＝x联立得交点A的坐标为.又＝，所以B为线段F2A的中点，所以B，因为点B在双曲线上，所以代入双曲线方程得b2×－a2×＝a2b2，得c2＝2a2，所以e＝＝.
解法二　由题意可知F2A⊥OA(O为坐标原点)，由于焦点到渐近线的距离为b，所以|AF2|＝b，且|OF2|＝c，所以|OA|＝a，且cos∠OF2A＝.由＝，知B为线段F2A的中点，所以|BF2|＝，又点B在双曲线上，所以|BF1|－|BF2|＝2a，则|BF1|＝2a＋.在△BF1F2中，由余弦定理|BF1|2＝|F1F2|2＋|BF2|2－2|F1F2||BF2|cos∠OF2A，得2＝4c2＋－2×2c××，化简得a＝b，所以e＝.
答案：
15．解析：

解法一　不妨令C为第一象限的点，如图，作AD∥BC，CD∥AB，连接BD，由·＝0，(＋)·＝0，可得BC⊥AB，AC⊥BD，故四边形ABCD是正方形．所以C(c,2c)，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为点C在双曲线E上，所以－＝1，又b2＝c2－a2，所以c4－6a2c2＋a4＝0，因为e＝＞1，所以e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3＋2或e2＝3－2(舍去)，所以e＝＋1，故选B.
解法二　设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨令C为第一象限的点，如图，作AD∥BC，CD∥AB，连接BD，由·＝0，(＋)·＝0，可得BC⊥AB，AC⊥BD，故四边形ABCD是正方形．所以2|OB|＝|BC|，所以2c＝，因为c2＝a2＋b2，所以b2＝c2－a2＝2ac，即c2－2ac－a2＝0，因为e＝＞1，所以e2－2e－1＝0，所以e＝＋1，故选B.
答案：B
16．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x.设直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，因为点P在双曲线的右支上，所以|k|＜，F2(c,0)到直线PF1的距离d＝＝a，解得k2＝＝，根据k2＜，得a4＜3b2c2＋b4，所以a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2＜3b2c2，则a2－b2＜3b2，即＞，所以e2＝1＋＞，则e＞，故选B.
答案：B
17．解析：由题意得，|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝　①，由双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝2a　②，|BF2|－|BF1|＝2a　③，由①②③，得|AF2|＋|BF2|＝4a＋.因为△ABF2的周长为24，即4a＋＝24，得b2＝6a－a2，得ab2＝6a2－a3.令f(a)＝6a2－a3(0＜a＜6)，则f′(a)＝12a－3a2，令f′(a)＝0，得a＝0或a＝4，所以当a∈(0,4)时f′(a)＞0；当a∈(4,6)时，f′(a)＜0.所以f(a)在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当a＝4时，f(a)取得最大值，此时b2＝6×4－42＝8，得b＝2.取该双曲线的焦点F2(c,0)，渐近线l：bx－ay＝0，则该双曲线的焦点到渐近线的距离d＝＝b＝2.
答案：D