2022届高考数学一轮复习-第七章-7.6-直接证明与间接证明课时作业.docx

2022届高考数学一轮复习 第七章 7.6 直接证明与间接证明课时作业

2022届高考数学一轮复习 第七章 7.6 直接证明与间接证明课时作业

年级：
姓名：

课时作业38　直接证明与间接证明
[基础达标]
一、选择题
1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　)

A．综合法B．分析法
C．比较法D．归纳法
2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除
3．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)
A．至少有一个不大于2B．都小于2
C．至少有一个不小于2D．都大于2
4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>QB．P＝Q
C．P<QD．由a的取值确定
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值B．恒等于零
C．恒为正值D．无法确定正负
二、填空题
6．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________．
7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________.
8．[2021·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________．
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．

10．已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.

[能力挑战]
11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.

课时作业38
1．解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.
答案：B
2．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
答案：B
3．解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾，
∴a，b，c都小于2错误．
∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项．
答案：C
4．解析：假设P>Q，要证P>Q，只需证P2>Q2，只需证：
2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立．
答案：A
5．解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.
答案：A
6．解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
7．解析：因为a∥b，
所以(x＋1)×(－2)＝2×4，
解得x＝－5.
答案：－5
8．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
9．证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
10．证明：证法一　(作差法)因为a，b是正实数，所以＋－－＝＋
＝
＝≥0，
所以＋≥＋.
证法二　(分析法)已知a，b是正实数，
要证＋≥＋，
只需证a＋b≥(＋)，
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
即证a＋b－≥，
就是要证a＋b≥2.
显然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋.
证法三　(综合法)因为a，b是正实数，
所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2，
当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥＋.
证法四　(综合法)因为a，b是正实数，
所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当a＝b时取等号，
所以＋≥＋.
11．证明：假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.