圆锥曲线知识点全归纳.doc

<p>圆锥曲线知识点全归纳（精华版）
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0</p><e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：
1）椭圆
&nbsp;文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。&nbsp;&nbsp;&nbsp;
标准方程：&nbsp;&nbsp;&nbsp;
1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1&nbsp;&nbsp;
&nbsp;其中a&gt;b&gt;0，c&gt;0，c^2=a^2-b^2.&nbsp;&nbsp;&nbsp;
2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中a&gt;b&gt;0，c&gt;0，c^2=a^2-b^2.&nbsp;&nbsp;&nbsp;
参数方程：
&nbsp;&nbsp;X=acosθ&nbsp;Y=bsinθ&nbsp;(θ为参数&nbsp;，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆&nbsp;此时c=0，圆的acosθ=r)
2）双曲线
&nbsp;文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。&nbsp;&nbsp;&nbsp;
标准方程：&nbsp;&nbsp;&nbsp;
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中a&gt;0,b&gt;0,c^2=a^2+b^2.&nbsp;&nbsp;&nbsp;
2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.&nbsp;&nbsp;
&nbsp;其中a&gt;0,b&gt;0,c^2=a^2+b^2.&nbsp;&nbsp;&nbsp;
参数方程：
&nbsp;&nbsp;x=asecθ&nbsp;y=btanθ&nbsp;(θ为参数&nbsp;)&nbsp;
3）抛物线
标准方程：&nbsp;&nbsp;&nbsp;
1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中&nbsp;p&gt;0
2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中&nbsp;p&gt;0
3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中&nbsp;p&gt;0&nbsp;&nbsp;
4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中&nbsp;p&gt;0&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
参数方程&nbsp;&nbsp;
&nbsp;x=2pt^2&nbsp;y=2pt&nbsp;(t为参数)&nbsp;t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0&nbsp;&nbsp;&nbsp;
直角坐标&nbsp;&nbsp;
&nbsp;y=ax^2+bx+c&nbsp;(开口方向为y轴,&nbsp;a&lt;&gt;0&nbsp;）&nbsp;x=ay^2+by+c&nbsp;（开口方向为x轴,&nbsp;a&lt;&gt;0&nbsp;)&nbsp;&nbsp;&nbsp;
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为&nbsp;&nbsp;
&nbsp;ρ=ep/(1-e×cosθ)&nbsp;&nbsp;&nbsp;其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。&nbsp;&nbsp;
二、焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。&nbsp;&nbsp;&nbsp;
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：&nbsp;&nbsp;&nbsp;
椭圆&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;|PF1|=a+ex&nbsp;&nbsp;&nbsp;|PF2|=a-ex&nbsp;&nbsp;&nbsp;
双曲线&nbsp;&nbsp;&nbsp;P在左支，|PF1|=－a-ex&nbsp;|PF2|=a-ex&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;P在右支，|PF1|=a+ex&nbsp;|PF2|=－a+ex&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;P在下支，|PF1|=&nbsp;－a-ey&nbsp;|PF2|=a-ey&nbsp;&nbsp;&nbsp;
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;P在上支，|PF1|=&nbsp;a+ey&nbsp;|PF2|=－a+ey&nbsp;&nbsp;&nbsp;
抛物线&nbsp;&nbsp;&nbsp;|PF|=x+p/2&nbsp;&nbsp;&nbsp;
三、圆锥曲线的切线方程&nbsp;&nbsp;&nbsp;
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程
以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y&nbsp;&nbsp;
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;
双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；
抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。&nbsp;&nbsp;&nbsp;
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c&nbsp;&nbsp;&nbsp;
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c&nbsp;&nbsp;&nbsp;
抛物线的准焦距:p
五、通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。&nbsp;&nbsp;
椭圆的通径:(2b^2)/a&nbsp;&nbsp;&nbsp;
双曲线的通径:(2b^2)/a&nbsp;&nbsp;&nbsp;
抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
见下图：
七、圆锥曲线的中点弦问题
&nbsp;&nbsp;已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程&nbsp;&nbsp;&nbsp;
⒈联立方程法。&nbsp;&nbsp;
&nbsp;用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。&nbsp;&nbsp;&nbsp;
2.点差法，或称代点相减法。&nbsp;&nbsp;
&nbsp;设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0&nbsp;&nbsp;&nbsp;由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）
补充：
焦点三角形面积公式椭圆=b²tan(a／2)=c|y0|
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 双曲线=b²cot（a／2)。</e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>