三-二元一次不等式(组)与简单线性规划问题.doc

第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
【最新考纲】　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1． 二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.线性规划相关概念

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　)
(3)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A．(0，0)　　　　　　　B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解析：∵－1＋3－1>0，∴点(－1，3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．
答案：C

4．(2017·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m，1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m，1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝________．
解析：由题意得＝4及2m＋1≥3，
解得m＝6.
答案：6
5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________．
解析：不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，

由得A(1，－1)
由得B(1，－3)
由得C(2，－2)
∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.
答案：1

一种方法
确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．
1．直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
2．特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．
一个程序
利用线性规划求最值的步骤是：
1．在平面直角坐标系内作出可行域；
2．考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
3．确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
4．求最值：将最优解代入目标函数求最值．
两个防范
1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－x＋的截距的最值间接求出z的最值，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．

一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24，7)　　　　　　　　B．(－7，24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.
即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.
答案：B

3．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：画出平面区域如图所示：直线y＝kx一定垂直x＋y－4＝0，

即k＝1，只有这样才可使围成的区域为直角三角形，且面积为1.
答案：B
4．(2016·郑州模拟)实数x，y满足若函数z＝x＋y的最大值为4，则实数a的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D.
解析：由约束条件作出可行域，如图所示的阴影部分，
当z＝x＋y过y＝x和y＝a的交点A(a，a)时，z取得最大值，即zmax＝a＋a＝4，所以a＝2.

答案：A
5．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

答案：D
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：作出可行域为△ABC(如图)，则S△ABC＝4.

答案：4

8．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________．
解析：画出可行域如图所示：

作直线l0：y＝－2x，平移直线l0，当过点A(k，k)时，使得z最小，由最小值为－6，可得3k＝－6，解得k＝－2.
答案：－2
三、解答题
9．若直线x＋my＋m＝0与以P(－1，－1)、Q(2，3)为端点的线段不相交，求m的取值范围．
解：直线x＋my＋m＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ与直线x＋my＋m＝0不相交，则点P、Q在同一区域内，于是，或
所以，m的取值范围是m<－.
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为

整理得
目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，

作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，
由得
∴最优解为A(50，50)，此时ωmax＝550元．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．