高考重庆卷理科数学试题及详细答案.doc

绝密启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题（理工农医类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂共他答案标号。3答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的（1）已知集合U=1，2，3，4，5，6，7，A= 2，4，5，7，B = 3，4，5，则（CUA）（CUB）=（A）1，6（B）4，5（C）2，3，4，5，7（D）1，2，3，6，7（2）在等差数列a n中，若a4+ a6=12，Sn是数列a n的前n项和，则S9的值为（A）48（B）54（C）60（D）66（3）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为（A）y =3x 或（B）y = 3x 或（C）y =3x或（D）y = 3x 或（4）对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（A）平行（B）相交（C）垂直（D）互为异面直线（5）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）540（B）162（C）162（D）540（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这100名学生中体重在56.5, 64.5的学生人数是（A）20（B）30（C）40（D）50（7）与向量的夹角相等, 且模为1的向量是 （A）（B）或（C）（D）或（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配 方案有 （A）30种（B）90种 （C）180种（D）270种（9）如图所示, 单位圆中弧AB 的长为表示弧AB 与弦AB所围 成的弓形面积的2倍，则函数的图象是 （10）若a, b, c 0且,则的最小值为（A）（B） （C）（D）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填写在答题卡相应位置上1 + 2i 3 + i3 （11）复数 的值是_（12）_（13）已知_（14）在数列中, 若（n1）, 则该数列的通项_（15）设函数有最大值, 则不等式的解集为_（16）已知变量满足约束条件, 若目标函数（其中）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）(本小题满分13分) 设函数x + sinxcosx + a（其中 0, aR）, 且的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 （）求的值； （）如果在区间上的最小值为, 求a的值（18）(本小题满分13分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠若该电梯在底层载有5位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为, 用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求： （）随机变量的分布列；（）随机变量的期望（19）(本小题满分13分) 如图, 在四棱锥中, 底面ABCD,为直角, E、F分别为PC、CD的中点（）试证：平面BEF；（）设, 且二面角的平面角大于30, 求k的取值范围（20）(本小题满分13分)已知函数, 其中为常数（）若, 讨论函数的单调性； （）若, 且 试证：（21）(本小题满分12分)已知定义域为R的函数满足 （）若, 求； 又若； （）设有且仅有一个实数, 使得,求函数的解析表达式（22）(本小题满分12分)已知一列椭圆, n = 1, 2, , 若椭圆Cn上有一点Pn, 使Pn到右准线ln的距离dn是| Pn Fn |与| Pn Gn |的等差中项, 其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点（）试证： （n1）；（）取,并用Sn表示PnFnGn的面积,试证： （n3）2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.（1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C（7）B （8）B （9）D （10）D 二、填空题：每小题4分，满分24分.（11） （12） （13）（14）（15）（2，3）（16）a1三、解答题：满分76分.（17）（本小题13分）解：（） 依题意得 解得 （）由（）知， 又当时， 故， 从而上取得最小值 因此，由题设知.（18分）（本小题满分13分）解法一：（）的所有可能值为0，1，2，3，4，5. 由等可能性事件的概率公式得从而的分布列为012345P （）由（）得的期望为 解法二：（）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故即由此计算的分布列如解法一. （） 解法三：（）同解法一或解法二 （）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等. 即 从而（19）（本小题13分） 解法一： （）证：由已知且DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF. 又PA底面ABCD, CDAD, 故由三垂线定理知CDPD. 在PDC中, E、F分别为PC、CD的中点，故EF/PD，从而CDEF，由此得CD面BEF. （）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在PAC中易知EG/PA，又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD. 在底面ABCD中，过G作GHBD，垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD. 从而EHG为二面角EBDC的平面角. 设AB=A，则在PAC中，有 以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD，因故在ABD中，因AB=a，AD=2a，得而，从而得 因此由k0知EHG是锐角，故要使EHG30，必须解之得，k的取值范围为 解法二： （）如图，以A为原点, AB所在直线为x轴, AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），F（a，2a，0）从而，设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故. 从而由此得CD面BEF. （）设E在xOy平面上的投影为G, 过G作为GHBD垂足为H, 由三垂线定理知EHBD. 从而EHG为二面角EBDC的平面角. 由. 设，则，由，即 又因，且的方向相同，故，即 由解得. 从而. 由k0知EHG是锐角，由EHG30，得，即故k的取值范围为（20）（本小题13分） 解：（）求导得因有两根；令；又令，故当是增函数；当是增函数；但当是减函数. （）易知，因此 所以，由已知条件得 因此解得. （21）（本小题12分） 解：（）因为对任意，所以 又由，得若 （）因为对任意，又因为有且只有一个实数所以对任意，在上式中令又因为若，即但方程有两个不同实根，与题设条件矛盾，故若=1, 则有易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为 （22）（本小题12分） 证：（）由题设及椭圆的几何性质有. 设，则右准线方程为因此，由题意d应满足即即从而对任意 （）设点Pn的坐标为及椭圆方程易知 因的面积为，从而令，由 得两根 从而易知函数内是增函数，而在内是减函数. 现在由题设取是增数列，又易知 ，故由前已证，知S1S2，且. 12 / 12