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八年级数学上册知识点总结
第十一章 三角形

三边不等的三角形
1、三角形 两边相等、底不等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形

2、三角形边长的关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3、三角形的高、中线、重心、角平分线：
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
重心：三角形有三条中线，且它们相交于三角形内部一点，交点叫重心
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线（注意：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线）
4、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性
5、多边形：
内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角 n边形的内角和=（n-2）*1800
外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 外解和=3600
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形
6、三角形的内角、外角的关系：
三角形的内角和为1800 （证明）
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和（证明）
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
直角三角形的两个锐角互余（900）；有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的一个外角和与之相邻的内角互补（1800）
三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）

第十二章 全等三角形

1、概念：
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
（理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等三角形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。）
对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点
对应边： 全等三角形中互相重合的边叫做对应边 （对应边相等）
对应角： 全等三角形中互相重合的角叫做对应角 （对应角相等）
2、全等三角形的性质：
两个全等三角形的：对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等。
两个全等三角形的：对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定定理：（证明是全等三的必要条件）
⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等
⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
4、角平分线：
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等
5、证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证
（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形
等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程
6、学习全等三角形应注意以下几个问题：
⑴要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
⑵表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
⑶“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
⑷截长补短法证三角形全等。

第十三章 轴对称

1、轴对称图形：
⑴把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
⑵把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。
⑶轴对称图形 和 轴对称 的区别与联系
⑷轴对称的性质：
① 关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
2、线段的垂直平分线
⑴经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
⑵线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
⑶与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
⑷三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
3、用坐标表示轴对称：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等。
4、等腰三角形：
⑴等腰三角形的性质
① 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
⑵等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

5、等边三角形：
⑴等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。
⑵等边三角形的判定：
① 三个角都相等的三角形是等边三角形。
② 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
⑶在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

6、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

7、最短路径问题：
两点的有连线中，线段最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

第十四章 整式乘除与因式分解

1、幂的运算： am·an ＝ am＋n (m、n为正整数）
am/an ＝ am-n (m、n为正整数）
( am )n ＝ am n （m、n为正整数）
a0 ＝ 1 （a≠0）
( ab )n = an bn （n为正整数）
( a/b )n = an/ bn （n为正整数）
a- p = 1/ap (ap的倒数) (p是正整数)
2、单项式、多项式计算法则：
⑴单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：ac5·bc2 = abc7
⑵单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。如：ab(a+b+c)=a2b+ab2+abc
⑶多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。如：（a+b）(b+c)=a(b+c)+b(b+c)=ab+ac+b2+bc
⑷单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：ambc÷anb = am-nb0c = am-nc
⑸多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 如：(15a2b-10ab2) ÷ 5ab = 15a2b÷ 5ab -10ab2 ÷ 5ab = 3a - 2b
3、乘法公式：
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
完全平方公式：（a＋b）2 ＝ a2＋2ab＋b2
（a－b）2 ＝ a2－2ab＋b2
(x+p)(x+q) = x2+(p+q)x+pq
4、因式分解：
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
掌握其定义应注意以下几点：
⑴分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；⑵因式分解必须是恒等变形； ⑶因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系：
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。
5、熟练掌握因式分解的常用方法．
⑴提公因式法
提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数--各项系数的最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；
提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。
注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
⑵公式法：运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
平方差公式： a2－b2 ＝ （a＋b）（a－b）
完全平方公式： a2＋2ab＋b2 ＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2 ＝（a－b）2
x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)

第十五章 分式
1、分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 AB 叫做分式，A为分子，B为分母。
与分式有关的条件：分母B的值不能为0（如果B=0则分式无意义）；A=0时，AB =0；A=B时，AB =1；A=-B（即A+B=0）时，AB = -1；A、B同时为正数或同时为负数时，AB >0；A、B的值为一正一负时，AB <0 。
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。即 AB = ACBC 其中A、B、C是整式，B≠0 且 C≠0。（要记住B≠0且C≠0）
分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 AB = -A-B = - -AB = - A-B （理解：-1乘-1等于1，-1除-1也等于1）
2、分式的约分：
把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因，直到最简分式（即分子分母没有公因式时）。
3、分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分最主要的步骤是最简公分母（取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母）的确定。确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
4、分式的四则运算与分式的乘方：
分式的乘除法：AB · CD = ACBD , AB ÷ CD = AB · DC = ADBC (记住分母≠0)
分式的乘方：（AB）2 =A2/B2

分式的加减法则：
同分母分式加减法： AB + CB = A+CB ，AB - CB = A-CB （B≠0）
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
AB + CD = ADBD + BCBD = AD+BCBD ，AB - CD = ADBD - BCBD = AD-BCBD （BD≠0）

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。例 -AB+ CD = -ABDD + CD = C-ABDD （D≠0）

注意：分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
5、整数指数幂
幂的运算，参照第十四章第1部分幂的运算公式。
科学记数法：例 0.000000125 = 1.25 · 10-7 ， 1250 = 1.25 · 103
6、分式方程的解的步骤：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
7、列分式方程：
仔细审题，找出等量关系。 合理设未知数。 根据等量关系列出方程（组）。解出方程（组）。 注意检验结果是否正确。 答题。

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