高考数学解析几何和函数.doc

解析几何与函数的综合问题（最值）

一. 教学内容
解析中的最值

二. 重点、难点
与解析几何有关的函数的值域或弦长，周长面积等的最大值，最小值，问题是解析几何与函数的综合问题。
常用办法：
（1）转化为二次函数，求二次函数值域
（2）化为一元二次方程，用
（3）利用均值不等式
（4）利用函数单调性，有界性
（5）几何法

【典型例题】
[例1] 过曲线M的右焦点F作直线，交M于A、B，求的最值。
（1）M：
（2）M：
（3）M：
解：
（1）
① 设：（）

即

且
② ： ∴
（2）
① 设：

时， ∴
② ： ∴ ：
：
（3）
① 设 ：

时，

② ：
∴ 无最大值
当时，最小值为：
时，最小值为：
时，最小值为
[例2] 如图，定长为3的线段AB的两端在上移动，且线段中点为M，求点M到y轴的最短距离。

解：设

代入消去、、、
得 *
∴ 符合题意
另解：由*式
另解：如图，为准线F为焦点 ∴ ，

∴ 当且仅当 A、F、B三点共线时， ∴
∴

【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知、，，且满足，设，则（ ）
A. B. C. D.
2. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3. 两直线和的交点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知曲线C的方程为，点为曲线C上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 不存在
5. 已知椭圆E：，，，若原点O到直线AB的距离为，则椭圆E的离心率e为（ ）
A. B. C. D.
6. 设AB为过双曲线的中心的弦，P是双曲线上不与A、B重合的点，若PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k1k2的值为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
7. 如果命题：“曲线C上的点的坐标满足方程”是真命题，则下列各命题中假命题的个数是（ ）
（1）方程的曲线为C；（2）曲线C是方程的轨迹；（3）满足方程的点都在曲线C上；（4）方程的曲线不一定是C。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知F1、F2为椭圆E的焦点，若椭圆E上存在点P使得，则椭圆E的离心率的范围是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
9. 已知关于的方程有解，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 记定点与抛物线C：上的点P之间的距离为，P点到抛物线C准线的距离为，则当去最小值时，P点的坐标为（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题
11. 已知、，且满足，则代数式的取值范围是 。
12. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，则等于 。
13. 已知椭圆E：的右焦点F，点，点P为椭圆E上的一点，则的最大值为 。
14. 若直线与椭圆相交于不同的两点A、B，且线段AB恰好被直线平分，则直线的倾斜角的范围是 。
15. 曲线上与原点距离最近的点的坐标为 。
16. 以，为焦点的双曲线，与直线有公共点，且实轴最长的双曲线方程是 。

三. 解答题
17. 已知椭圆E的两焦点为，，直线是椭圆E的一条准线。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点P在椭圆E上，且，求的值。
18. 已知圆C：，直线：，点P为上一点，PA、PB分别与圆C相切于A、B。
（1）求AB中点M的轨迹方程。
（2）求的取值范围。
19. 已知双曲线E：的离心率，点A、B在双曲线E的渐近线上，若AB的中点P在双曲线E上，且的面积（其中O为坐标原点），求双曲线E的方程。
20. 矩形ABCD的顶点A、B在直线上，C、D在抛物线上，该矩形的外接圆方程为
（1）求矩形ABCD对角线交点M的坐标。
（2）求此矩形的长，并确定m、t的值。

【试题答案】
一.
1. A 2. A 3. C 4. C 5. A 6. B 7. C
8. B 9. D 10. A

二.
11. 12. 90° 13. 9
14.
15. 16.

三.
17.
解： ∴
∴
18. 设 ∴ 以OP为直径的圆为
∴ ： ： （t为参数）
消参：（）

∴ 时 时
∴
19.
解： ∴ ∴ E：
两渐近线
设 则
由
设AB中点，
∴
代入
∴
20.
解：
（1）由外接圆 ∴
（2） ∴ ： *
设CD中点为N由

由* 得 ∴
点关于M对称点 在AB上，则
M到CD的距离
圆半径 ∴

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