高考数学排列组合与项式定理.doc

排列组合和二项式定理
基础知识
☆.两个基本原理：加法原理、乘法原理 （正确地分类与分步是学好这一章的关键）
加法原理与乘法原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数。它们的区别在于：加法原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；乘法原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
说明：教学中要强调分类与分步的区别，因为学生易混淆。
☆.排列
（1）排列、排列数定义
（2）排列数公式： ==n·(n－1)…(n－m+1)
（3）全排列公式： =n!
☆．组合
（1）组合、组合数定义，排列与组合的区别；
（2）组合数公式：Cnm==；
（3）组合数的性质
①Cnm=Cnn-m； ②；
说明：排列与组合问题的共同点是要“从n个不同元素中，任取m个元素”；不同点是对于所取出的m个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”。
另外，由于学生经常用计算器计算排列数和组合数，容易忽视排列数公式和组合数公式，所以应做一些简单的带字母的排列数和组合数问题，以熟练公式，打牢基础。
☆．二项式定理
（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
二项展开式有以下特征：（应再次强调）
A、它有n+1项;
B、各项的次数和都等于二项式的次数n;
C、字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n;
D、各项的系数依次为 ,,,…,
Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；
Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
教学中应强调，这个通项公式是针对(a+b)n这个标准形式而言的，
对于(b+a)n的展开式,Tk+1=Cnkbn-kak
对于的(a-b)n展开式Tk+1=Cnkan-k(-b)k
这表明它们与标准形式的通项公式是有区别的。
教学中应强调，由于其通项一般记为,r不是项数, r+1才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到r。
（二）主要思想方法
☆ 解排列组合应用题的基本思路：
① 乘法原理与加法原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。
② 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合问题的关键一步
③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；
☆.解排列组合题的基本方法：
① 对于带限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：
元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
二、应知应会知识
1． 会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步）
(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（　 　）
A.　15种 B.　8种 C.　53种 D.　35种　
(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，则不同的分配方案有_______种．
(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）
A. 1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种
2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题
（1）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（ ）
A．12种　　 　 B．20种　　　 C．24种　 　 D．48种
（2）5人站成一排，其中不在左端也不和相邻的排法种数为（　　）
A．48　　 　　 B．54　　　　 C．60　 　　　 D．66
（3）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
3.会求某些元素按指定顺序排列的问题
（1）七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数有_________种．
（2）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.（用数字作答）
（3）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不同的方法（用数字作答）.
4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题
（1）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）
A.　140种 B.　84种 C.　70种 D.　35种
（2）将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
5.会解其它有限制条件的排列组合问题 (要注意使用最常用、最本原的方法------列举法)
（1）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )
A. 36个 B. 24个 C. 18个 D. 6个
（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
（3）以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（ ）
A．　 　 B．　　 C．-6　 D．
（4）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A. 6种　　B. 9种　　C. 11种　　D. 23种
（5）设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样投放的方法总数为 ( )  
A
B
C
D
A.　20 B.　30 C.　60 D.　120
（6）用六种不同颜色，给图中A、B、C、D、四块区域涂色，允许同一种颜色
涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色，共有________种不同的涂法.
6.会将所给的二项式展开或合并
(1)计算:＝___________.
(2)设,则_____________.
7.会求二项式的展开式的指定项（要注意区分“第项”、“第项的系数”、“第项的二项式系数”等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题）
(1)若展开式中含的项是第8项，则展开式中含的项是（ ）
　A．第8项　　 B．第9项　　 C．第10项　 　D．第11项
(2)若展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，则实数x的取值范围是（ ）
A. x> B. <x0 C. x< D. x
(3) 设k=1,2,3,4,5, 则(x+2)5的展开式中的系数不可能是 ( C)
A . 10 B . 40 C . 50 D . 80
(4)在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x 2项的系数是　　　　.（用数字作答）.
(5)已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝_________．
(6)的展开式中整理后的常数项等于 .
(7)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是
A. 0　　　　　B. 2　　　　　C. 4　　　　　D. 6
8.会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题
(1) 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）
A. 7 B. C. 21 D.
(2)在（x－）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（ ）
A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009
(3) 若，则
则① = ______________;
② =__________________;
③ =_____________;
④ =___________.
课后作业
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个是正确的，共40分）
1．某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为( D )
A、26 B、300 C、600 D、1200
2．n∈N*，则（20-n）(21-n)……(100-n)等于 （ C）
A． B． C． D．
3、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应 （D ）
A、从东边上山 B、从西边上山 C、从南西上山 D、从北边上山
4、在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是 ( C )
A、－5 B、 5 C、10 D、－10
5、有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ A ）
A、2880 B、3080 C、3200 D、3600
6．若，则的值为 ( B )
A．0 B．15 C．16 D．17
7．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有 ( A )
A．种 B．种 C．种 D．种
8．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为 ( B)
A． 36 B．40 C．44 D．48
9、展开式中含的正整数次幂的项共有 （ C）
（A）1项 （B）2项 （C）3项 （D）4项
10、从6人中选4人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，但甲，乙两人都不去北京，则不同的选择方案有 （ B）
A、300种 B、240种 C、144种 D、96种
二、填空题（每小题4分，共20分）
11、在的展开式中，的系数是15，则实数= -0.5 ；
12、的展开式中， 的系数是 207 ；（用数字作答）
13、3名老师带领6名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有1名老师和2名学生组成，不同的分配方法有 540 种。（用数字作答）
14、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有____10____种。
15、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于8分的取法有__66__种 (用数字作答).