7高考数学一轮复习分层限时跟踪练4.doc

分层限时跟踪练(四十六)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2015·福建高考)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11　　　　B．9　　　　C．5　　　　D．3
【解析】　由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.
【答案】　B
2．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.
【答案】　D
3．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
【解析】　由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知
解得故所求双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】　D
4．已知双曲线－＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为(　　)
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】　由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y轴上，所以n＜0，m＜0，渐近线方程为y＝±x.又e＝3，
∴1＋＝9，∴＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±.
【答案】　B
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A.　　　　B．2 C.　　　　D.
【解析】　

不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
【答案】　D
二、填空题
6．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
【解析】　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝.
【答案】　
7．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________________________________________．
【解析】　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】　－y2＝1
8．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．
【解析】　不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，
则－＝1，故＝5，即e＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】　设动圆M的半径为r，
则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
∴|MC1|－|MC2|＝2，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8，
∴2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
又a＝，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝14，
∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
10．(2015·潍坊模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
【解】　(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，
∴双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知F2(2,0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，
故可设直线l：y＝k(x－2)，
由
消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
k≠±时，x1＋x2＝，
x1x2＝，
y1－y2＝k(x1－x2)，
△F1AB的面积
S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|
＝2|k|·
＝12|k|·
＝6.
得k4＋8k2－9＝0，
则k＝±1.
所以直线l方程为y＝x－2或y＝－x＋2.

1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1(m＞n＞0)有共同的焦点F1，F2(F1为左焦点，F2为右焦点)，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．m2－a2 B.－
C.(m－a) D．m－a
【解析】　不妨设点P是第一象限内的两曲线的交点，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2，求得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，所以|PF1|·|PF2|＝(＋)·(－)＝m－a.
【答案】　D
2．(2015·辽宁五校联考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N(设点M，N均在第一象限)，当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为(　　)
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(2,3)
【解析】　由得N，同理得M(a，b)，又F1(－c,0)，则kMF1＝，kON＝，∵MF1∥ON，∴＝，∴a＝(a＋c)b，化简得2a2c－c3＝2ac2－2a3，即2e－e3＝2e2－2，设f(e)＝e3＋2e2－2e－2，易知f(1)＝1＋2－2－2＜0，f()＝2＋4－2－2＞0，∴1＜e0＜.故选A.
【答案】　A
3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
【解析】　设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵在双曲线中c>a，
∴在△PF1F2中|PF2|所对的角最小且为30°.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac，即3a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0，
∴c＝a，即＝.∴e＝.
【答案】　
4．(2015·日照模拟)已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为______________．
【解析】　设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，
代入双曲线方程得y0＝±，
∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.
又∵c2＝a2＋b2，
∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)．
∵a＞0，b＞0，∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
【答案】　y＝±x
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点．已知A(1,0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【解】　(1)依题意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，
∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又∵·＝1，
即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
∴m＝0(舍)或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，
∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．
6．(2014·福建高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图8­6­1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

图8­6­1
【解】　(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.

(2)法一：由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a.
又因为△OAB的面积为8，
所以|OC|·|AB|＝8，
因此a·4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为－＝1.
若存在满足条件的双曲线E，
则E的方程只能为－＝1.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，
则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理，得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
法二：由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意得－＜m＜.
由得y1＝，同理，得y2＝.
设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得
|t|·＝8.
所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.
因为4m2－1＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，
即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
法三：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
依题意，得k＞2或k＜－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0.
因为4－k2＜0，Δ＞0，所以x1x2＝.
又因为△OAB的面积为8，
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，
又易知sin ∠AOB＝，
所以·＝8，化简，得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.