7高考数学一轮复习分层限时跟踪练4.doc

分层限时跟踪练(四十六)(限时40分钟)一、选择题1(2015福建高考)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5D3【解析】由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.【答案】B2(2015湖南高考)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.【解析】由双曲线的渐近线过点(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.【答案】D3(2015天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.1 B.1 C.y21 Dx21【解析】由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.【答案】D4已知双曲线1的离心率为3，有一个焦点与抛物线yx2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为()A2xy0Bx2y0Cx2y0D2xy0【解析】由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y轴上，所以n0，m0，渐近线方程为yx.又e3，19，所以双曲线的渐近线方程为y.【答案】B5(2015全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A.B2 C.D.【解析】不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.【答案】D二、填空题6(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b0，所以b.【答案】7(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_【解析】双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.【答案】y218(2015湖南高考)设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_【解析】不妨设F(c,0)，PF的中点为(0，b)由中点坐标公式可知P(c,2b)又点P在双曲线上，则1，故5，即e.【答案】三、解答题9已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2，又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支又a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是1(x)10(2015潍坊模拟)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若F1AB的面积等于6，求直线l的方程【解】(1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2,0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6.得k48k290，则k1.所以直线l方程为yx2或yx2.1若双曲线1(a0，b0)和椭圆1(mn0)有共同的焦点F1，F2(F1为左焦点，F2为右焦点)，P是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|()Am2a2 B.C.(ma)Dma【解析】不妨设点P是第一象限内的两曲线的交点，由椭圆定义知，|PF1|PF2|2，由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2，求得|PF1|，|PF2|，所以|PF1|PF2|()()ma.【答案】D2(2015辽宁五校联考)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N(设点M，N均在第一象限)，当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为()A(1，)B(，)C(，2)D(2,3)【解析】由得N，同理得M(a，b)，又F1(c,0)，则kMF1，kON，MF1ON，a(ac)b，化简得2a2cc32ac22a3，即2ee32e22，设f(e)e32e22e2，易知f(1)12220，f()24220，1e0.故选A.【答案】A3设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为_【解析】设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.在双曲线中ca，在PF1F2中|PF2|所对的角最小且为30.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 30，即4a216a24c28ac，即3a2c22ac0.(ac)20，ca，即.e.【答案】4(2015日照模拟)已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_【解析】设F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0，PQx轴，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|PF2|，即2c.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去)a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为yx.【答案】yx5已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点已知A(1,0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切【解】(1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴，过A、B、D三点的圆与x轴相切6(2014福建高考)已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图861，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由图861【解】(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)法一：由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.法二：由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1，同理，得y2.设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)由SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m210，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.法三：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意，得k2或k2.由得(4k2)x22kmxm20.因为4k20，0，所以x1x2.又因为OAB的面积为8，所以|OA|OB|sinAOB8，又易知sin AOB，所以8，化简，得x1x24.所以4，即m24(k24)由(1)得双曲线E的方程为1，由得(4k2)x22kmxm24a20.因为4k20，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以双曲线E的方程为1.当lx轴时，由OAB的面积等于8可得l：x2，又易知l：x2与双曲线E：1有且只有一个公共点综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.