高考数学一轮复习分层限时跟踪练39.doc

分层限时跟踪练(三十九)
(限时40分钟)

一、选择题
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α.
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0
【解析】　①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n可在平面内．
【答案】　D
2．(2015·唐山模拟)对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是(　　)
A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α
B．若a∥b，b⊂α，则a∥α
C．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b
D．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α
【解析】　A．根据线面垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误．B.根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．C.根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D.根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行，所以D错误．
【答案】　C
3．(2015·新乡模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是(　　)
A．③④ B．①③
C．②③ D．①②
【解析】　根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．
【答案】　C
4．在三棱锥P­ABC中，点D在PA上，且PD＝DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积是(　　)
A．1 B．2
C．4 D.
【解析】　由于平面DEF∥底面ABC，因此DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，所以＝＝，所以△DEF∽△ABC，所以＝2，而S△ABC＝9，所以S△DEF＝1，故选A.
【答案】　A
5．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且 ，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有(　　)
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或②或③
【解析】　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
【答案】　C
二、填空题
6．如图7­4­6，四棱锥P­ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为 ．

图7­4­6

【解析】　取PD的中点F，连接EF，AF，
在△PCD中，EF綊CD.
又∵AB∥CD
且CD＝2AB，
∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.
又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
【答案】　平行
7．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件 时，有平面D1BQ∥平面PAO.

【解析】　如图，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
【答案】　Q为CC1的中点
8．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；
④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.
其中正确命题的序号是 ．
【解析】　

①如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．
【答案】　②③
三、解答题
9．如图7­4­7，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

图7­4­7
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
【证明】　(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，
EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
10．如图7­4­8，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.

图7­4­8
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求四面体B­CDE的体积．
【解】　(1)证明：取BD的中点P，
连接EP、FP，
则PF为中位线，
PF DC，
又∵EA DC，
∴EA PF.

故四边形AFPE是平行四边形，
即AF∥EP.
∵EP⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)∵BA⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE且交于AC，
∴BA⊥平面ACDE，即BA就是四面体B­CDE的高，BA＝AC＝2.
∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD，
∴S梯形ACDE＝×(1＋2)×2＝3，
S△ACE＝×AE×AC＝×1×2＝1，
∴S△CDE＝3－1＝2，
∴VB­CDE＝·BA·S△CDE＝×2×2＝.

1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

图7­4­9
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
【解析】　对图形①，平面MNP∥平面ABC，可得AB∥面MNP；对图形④，AB∥PN，故AB∥面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．
【答案】　C
2．(2015·开原模拟)若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线(　　)
A．只有1条 B．只有2条
C．只有4条 D．有无数条

【解析】　据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．
【答案】　A
3．(2015·唐山统考)在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为 ．
【解析】　过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
【答案】　8
4．(2015·温州模拟)如图7­4­10，矩形ABCD中，E为边AB的中点，

图7­4­10
将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是 ．
①|BM|是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

【解析】　取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，
∵MB⊂平面MNB，
∴MB∥平面A1DE，④正确；
∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，
NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以|MB|是定值，①正确；
B是定点，所以M是在以B为圆心，
MB为半径的圆上，②正确；
当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．
所以①②④正确．
【答案】　①②④
5．(2015·陕西二检)如图7­4­11，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1的中点．

图7­4­11
(1)求证：B1D1⊥AE；
(2)求证：AC∥平面B1DE.
【证明】　(1)如图，连接BD，则BD∥B1D1.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.
又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.
∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.
(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.
∵E，F分别是CC1，BB1的中点，∴EF綊BC.
又BC AD，∴EF AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.
∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE，
∴AF∥平面B1DE.
∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.
又AC⊂平面ACF，∴AC∥平面B1DE.
6．(2015·云南昆明三中、玉溪一中高三统一考试)如图7­4­12，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.

图7­4­12
(1)求证：平面AFC⊥平面CBF；
(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF？并说明理由．
【解】　(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
所以CB⊥平面ABEF，因为AF⊂平面ABEF，
所以AF⊥CB，又AB为圆O的直径，

所以AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF.
因为AF⊂平面AFC，所以平面AFC⊥平面CBF.
(2)取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，如图所示，
则MN CD，又AO CD，则MN AO，
所以MNAO为平行四边形，
所以OM∥AN，又AN⊂平面ADF，OM⊄平面ADF，
所以OM∥平面ADF.