高考数学冲分练及参考答案.doc

2014年高考数学冲分练及答案(6)
一、选择题
1． 复数1＋在复平面内对应的点的坐标是 (　　)
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
答案　D
解析　复数1＋＝1－i，它在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)．
2． 全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则下图中阴影部分表示的集合
(　　)

A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x≤1} D．{x|0≤x≤1}
答案　D
解析　阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|－1≤y≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D.
3． 已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是 (　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥－1 D．a≤－3
答案　A
解析　解x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，故a≥1.
4． 如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为 (　　)
A．2 B．3 C．4 D．－1
答案　C
解析　根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．又函数f(x)在[，＋∞)上单调递增，故f(x)在(－∞，]上单调递减，则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
5． 以下四个命题中的假命题是 (　　)
A．“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”
B．直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”
C．两直线“a∥b”的充要条件是“直线a、b与同一平面α所成角相等”
D．“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”
答案　C
解析　A正确，直线a、b是异面直线时，直线a、b一定不相交，但直线a、b不相交时，a、b不一定异面；B正确，a垂直于b所在的平面，可得a⊥b，但a⊥b⇒a垂直于b所在的平面；C错误，直线a、b与同一平面α所成角相等⇒a∥b；D正确，直线a∥平面α⇒a平行于平面α内的一条直线；而a平行于平面α内的一条直线⇒直线a∥平面α，可能a⊂α.
6． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于 (　　)
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
答案　C
解析　由已知得即
∴或
当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
∴此时f(x)在定义域上单调递增，无极值．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f(2)＝23＋4×22－11×2＋16＝18.
7． 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于
(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　可以设切点为(x0，x＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x＋1，∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，∴∴x0＝±1，
∴＝2，∴e＝＝ ＝ ＝ ＝.
8．设a1，a2，…，a50是以－1,0,1这三个整数取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50当中取零的项共有 (　　)
A．11个 B．12个 C．15个 D．25个
答案　A
解析　(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a＋a＋…＋a＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，
∴a＋a＋…＋a＝39，
∴a1，a2，…，a50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.
9． 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是 (　　)
A．2± B．2＋
C.±1 D.－1
答案　A
解析　依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P(，y1)．又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝＋＝2，由此解得p＝2±，故选A.
10．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是 (　　)
A. B．1 C. D．2
答案　D
解析　将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin ω＝sin.因为该函数图象过点，所以sin＝sin ＝0，所以＝kπ(k∈Z)，则ω＝2k(k∈Z)．因为ω>0，故ω的最小值为2.
11．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　一共有9个基本事件，只有k＝－1，b＝1,2才可以不经过第三象限．
12．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝ (　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　由已知图形，可知a2＝1＋2，a3＝1＋2＋3，a4＝1＋2＋2＋4，a5＝1＋2＋2＋2＋5，故an等于n个数的和，其中第一个数为1，最后一个数为n，中间的n－2个数为2，所以an＝1＋2(n－2)＋n＝3n－3＝3(n－1)．
故＝＝＝－(n≥2)．
所以＋＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
二、填空题
13．在样本的频率分布直方图中共有9个小长方形(如图)，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1 600，则中间一组(即第五组)的频数为________．

答案　360
解析　设前五个长方形面积的公差为d，由9个长方形的面积为1，可得0.02×9＋(d＋2d＋3d＋4d＋3d＋2d＋d)＝1，故d＝，中间一组的频数为1 600×(0.02＋4d)＝360.
14．已知a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m、n为正数)，若a∥b，则＋的最小值是________．
答案　3＋2
解析　向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，即n＝m时等号成立．
15．函数f(x)对一切实数x都满足f＝f，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为______．
答案　
解析　函数图象关于直线x＝对称，方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个是，另外 两个关于直线x＝对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为.
16．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1＋S2＋S3的最大值是
________．
答案　8
解析　由·＝0，·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，⊥，由点A，B，C，D构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB2＋AC2＋AD2＝(2＋2)2＝16，即＋＋＝16≥AB·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤×16，
当且仅当AB＝AC＝AD＝时，S1＋S2＋S3取得最大值8.
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