高考数学一轮复习分层限时跟踪练43.doc

分层限时跟踪练(四十三)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2015·肇庆二模)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8
【解析】　由得圆心坐标为(－1,0)，
由圆与直线x＋y＋3＝0相切得r＝＝.
故圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
【答案】　A
2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是(　　)
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
【解析】　将圆方程化为标准式得(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即(0＋a)2＋(0＋1)2＞2a，∴原点在圆外．
【答案】　B
3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【解析】　设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
则x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则∴
代入x＋y＝4
得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
【答案】　A
4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2

【解析】　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
【答案】　B
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.

【解析】　在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B.
【答案】　B
二、填空题
6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程为__________________．
【解析】　因为所求圆与已知圆的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径相等为，故所求圆方程为(x－2)2＋y2＝5.
【答案】　(x－2)2＋y2＝5
7．(2015·绍兴模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．
【解析】　圆的方程化为标准式为
(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.
∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.
易知点P(1,2)在圆外．
∴点P到圆心C的距离为
|PC|＝＝≥3.
∴|PC|min＝3.
∴点P和圆C上点的最小距离
dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.
【答案】　2
8．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________________．
【解析】　由圆的几何性质知kPQ·kOM＝－1.∵kOM＝2，
∴kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
【答案】　x＋2y－5＝0
三、解答题
9．求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
【解】　(1)法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二　过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，
与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二　由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10．已知圆x2＋y2＝4上一定点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．
【解】　(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

1．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
【解析】　由题意，得圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，得b＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a＞0，解得a＜2，∴a－b＝2＋a＜4.
【答案】　A
2．(2015·孟津模拟)已知圆心C在直线2x＋y＝0上，且圆C夹在两条平行线l1：x＋y＋5＝0与l2：x＋y－3＝0之间，圆上的点到两条平行线的最小距离均为，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋4)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
【解析】　由题意知圆心C在直线x＋y＋1＝0上，由，得圆心C(1，－2)，半径r＝－＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
【答案】　D
3．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为____________________________________________．
【解析】　由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，
故圆C的方程为x2＋2＝.
【答案】　x2＋2＝
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．
【解析】　lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝，则AB边上的高的最小值为－1，故△ABC的面积最小值为×2×＝3－.
【答案】　3－
5．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值与最小值．
【解】　(1)方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．

设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，如图②所示．
由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，可得＝2，
即|b－6|＝2，解得b＝6±2，
所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
6．(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
【解】　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点M(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆M上，从而OM⊥PM.
因为OM的斜率为3，
所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.