高考复习考试理科数学考试习题.doc

2014年高考复习理科数学试题(26)
试题说明：本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试时间为120分钟.
注意事项：答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答卷上；
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑，答案不能答在答卷上；非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须答在各题目指定区域内的相应位置上，不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．集合的真子集的个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．不等式的解集是
A． B．
C． D．
3．函数的一个单调递增区间为
A． B． C． D．
4．设复数满足，则
A． B． C． D．
图1
5．已知向量，，若，则
A． B．
C．1 D．3
6．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份
是闰年的为
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年

7．已知，是平面，，是直线，给出下列命题
①若，，则．
②若，，，，则．
③如果、n是异面直线，那么相交．
④若，∥，且，则∥且∥．
其中正确命题的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
8．函数，若（其中、均大于２），则的最小值为
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9~13题）
9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容
量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是
人．
10．已知等比数列的前三项依次为，，，则 ．
11．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标 ．
12．不等式的解集是 ．
13． 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为__________

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14．在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
A
D
P
C
O
E
B
F
图2
15．如图2所示，与是的直径，，是延长线上一点，

连交于点，连交于点，
若，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在△中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．

17. （本小题满分12分）
一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（1）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（2）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列及数学期望。

18. (本小题满分14分)
如图3所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面，，，，分别为、、的中点．
图3
A
B
C
D
E
F
G
P
（1）求证：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

19．(本小题满分14分)
已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点。
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

20．(本小题满分14分)
已知函数。
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间。

21．（本小题满分14分）
已知函数
(1)当时, 证明: 不等式恒成立;
(2)若数列满足,证明数列是等比数列,并求出数列、的通项公式；
(3)在(2)的条件下，若，证明：.

参考答案
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
D
A
C
B
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共7小题，每小题5分，满分30分．
9．760 10． 11．2 12．
13．4 14． 15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分
得，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分
，………………………10分
∵是的内角，∴．………………12分
方法2：∵，且是的内角，
∴．………………………………………………………8分
根据正弦定理，，……………………………………………………10分
得． ……………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则……………………4分
（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为……………………6分

的分布列为

3
4
5
6
P

…………………10分
数学期望：E=3×+4×+5×+6×=…………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证法1：∵平面，平面，∴．
又为正方形，∴．
∵，∴平面．……………………………………………3分
∵平面，∴．
∵，∴．…………………………………………………………6分
证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，，．………4分
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
P
∵，∴．………6分
（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，……………8分
设平面DFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．…………………………10分
设平面EFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．……………………………12分
∵．
设二面角的平面角为θ，则．
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分
解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，．………………………………8分
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
P
过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．………………………………………………10分
再过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．……………………………………………12分
∴．
∵与所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为
，从而有，解得 ………4分
又，所以，故椭圆的方程为 ………6分
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为………7分
由得，………9分
因为直线与椭圆有公共点，所以有，
解得………10分另一方面，由直线与的距离为4可得，从而………12分
由于，所以符合题意的直线不存在。………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）当时，，
由于，
所以曲线在点处的切线方程为
即 。 ………4分
（2）.………5分
①当时，.
所以，在区间上，；在区间上，.
故的单调递增区间是，单调递减区间是.………6分
②当时，由，得，
所以，在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.………9分
③当时，，故的单调递增区间是.………10分
④当时，，得.
所以没在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是………13分
由上可知当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是………14分
21.(1)方法一:∵,
∴
而时,∴时，
∴当时，恒成立. ………4分
方法二:令,

故是定义域)上的减函数,∴当时,恒成立.
即当时,恒成立.∴当时，恒成立. ………4分
(2)
∴………5分
∵∴ ,……8分
又
∴是首项为,公比为的等比数列,其通项公式为.………9分
又∴………10分
(3)
……12分
∴
………14分

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