高考数学一轮复习分层限时跟踪练49.doc

分层限时跟踪练(四十九)
(限时40分钟)

1．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
【解】　(1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．
∴若·＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．
2．(2015·陕西高考)如图8­8­6，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.

图8­8­6
(1)求椭圆E的方程．
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
【解】　(1)由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
3．给出双曲线x2－＝1.
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；
(2)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
【解】　(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率k＝＝4.
故求得直线方程为4x－y－7＝0.
(2)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.
考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的．
4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，且过点P(，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点．过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2)，连结AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
【解】　(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4，从而椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意知，E点坐标为(x0,0)，设D(xD,0)，则＝(x0，－2)，＝(xD，－2)，
再由AD⊥AE知，·＝0，即x0xD＋8＝0.
由于x0y0≠0，故xD＝－.
因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.
故直线QG的斜率kQG＝＝.
又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋2y＝8.①
从而kQG＝－.
故直线QG的方程为y＝－.②
将②代入椭圆C的方程，得
(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③
再将①代入③，化简得
x2－2x0x＋x＝0.
解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．

1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
【解】　(1)由题意知F.
设D(t,0)(t＞0)，
则FD的中点为.
因为|FA|＝|FD|，
由抛物线的定义知3＋＝，
解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：由(1)知F(1,0)，
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD＞0)，
因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD＞0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，
kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过点F(1,0)．当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)．
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围；
(3)若点P满足|PA|＝|PB|，求证：＋＋为定值．
【解】　(1)由双曲线－＝1的焦距为3，得c＝，∴a2＋b2＝.①
由题意知＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知P(－，0)．
设G(x0，y0)，由＝2，得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)．
即解得
∴G.
设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，
||2＋||2＝2＋y＋2＋y
＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋＝x＋.
又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，∴≤x＋≤，
∴||2＋||2的取值范围是.
(3)证明：由|PA|＝|PB|，知P在线段AB的垂直平分线上，
由椭圆的对称性可知A、B关于原点对称．
①若A、B在椭圆的短轴顶点处，则点P在椭圆的长轴顶点处，此时＋＋＝＋＋＝2＝2.
若A、B在椭圆的长轴顶点处，则点P在椭圆的短轴顶点处，此时＋＋＝＋＋＝2＝2.
②当点A、B、P不在椭圆顶点处时，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OP的方程为y＝－x，
设A(x2，y2)，B(－x2，－y2)．
由解得x＝，y＝.
所以|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
用－代换k，得|OP|2＝.
∴＋＋＝＋＋＝2.
综上，＋＋为定值2.
3．已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：
x
0
－1

4
y
－2

－2
1
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P，且与C2的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)设C1，C2的标准方程分别为
＋＝1(a＞b＞0)，x2＝py，
∵(0，－2)不符合x2＝py，∴该点必为椭圆上的点，
代入得a＝2.
即椭圆方程为＋＝1，
若(4,1)在椭圆上，则有＋＝1，
b2＝＞a2(不合题意)．
即(4,1)在抛物线上，∴p＝16，
抛物线方程为x2＝16y，
验证得在抛物线上，(，－2)不在抛物线上，
∴(，－2)在椭圆上，∴b2＝4.
故C1，C2的标准方程分别为＋＝1，x2＝16y.
(2)存在．设直线l的方程为x＝my＋n，
将其代入＋＝1，
消去x并化简整理得(1＋2m2)y2＋4mny＋2n2－8＝0，
∵l与C1相切，
∴Δ＝16m2n2－4(1＋2m2)(2n2－8)＝0，
∴n2＝4(1＋2m2)，
设切点P(x0，y0)，
则y0＝－＝－，
x0＝my0＋n＝＝.
又直线l与C2的准线y＝－4的交点Q(n－4m，－4)，
∴以PQ为直径的圆的方程为
(x－n＋4m)＋(y＋4)＝0，
化简并整理得
x2－x＋(4m－n)x＋(y＋2)＋(y＋2)2＝0，
当x＝0，y＝－2时，等式恒成立，
即存在定点M(0，－2)符合题意．
4．(2015·湖北高考)一种画椭圆的工具如图8­8­7(1)所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图8­8­7(2)所示的平面直角坐标系．

图8­8­7
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【解】　(1)因为|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；同理，|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立，所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为＋＝1.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，
由消去y，可得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
所以Δ＝64k2m2－4(4m2－16)＝0，
即m2＝16k2＋4.①
又由可得P；
同理可得Q.
由原点O到直线PQ的距离为d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，可得
S△OPQ＝|PQ|·d＝|m||xP－xQ|＝·|m|＝.②
将①代入②，得S△OPQ＝＝8.
当k2>时，S△OPQ＝8＝8>8；
当0≤k2<时，S△OPQ＝8＝8.
因为0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，
所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时取等号．
所以当k＝0时，S△OPQ取最小值为8.
综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.