考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一.doc

(完整word)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
（1）若函数在处连续，则（ ）
（A) (B） （C） （D)
（2）设函数可导，且则（ ）
(A) （B)
(C） (D)
(3）函数在点处沿向量的方向导数为（ ）
（A）12 (B）6 (C)4 (D）2
（4）甲乙两人赛跑,计时开始时，甲在乙前方10(单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线 （单位：m/s）虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为10,20，3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s）,则（ ）
(A) （B) (C） (D)

(5）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ )
(A） 不可逆 （B) 不可逆
（C) 不可逆 （D)不可逆
（6）已知矩阵 ，则（ )
(A) A与C相似，B与C相似 （B） A与C相似，B与C不相似
(C) A与C不相似，B与C相似 （D) A与C不相似，B与C不相似
（7）设为随机事件，若，则的充分必要条件是( ）
A. B
C。 D。
(8）设来自总体 的简单随机样本，记 则下列结论中不正确的是:（ ）
(A） 服从分布 （B) 服从分布
（C) 服从分布 (D) 服从分布
二、填空题：9～14小题，每小题4分,共24分。
（9） 已知函数 ，则__________
（10）微分方程的通解为__________
（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则
（12)幂级数在区间（—1,1）内的和函数
(13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为
（14)设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数,则EX=
三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
设函数具有2阶连续偏导数，,求,

（16)(本题满分10分)
求

（17）（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求得极值

（18）(本题满分10分)
设函数在上具有2阶导数，
证(1） 方程在区间至少存在一个根；
（2） 方程 在区间内至少存在两个不同的实根。

（19）（本题满分10分)
设薄片型物体是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点弧度为。记圆锥与柱面的交线为
（1）求在 平面上的投影曲线的方程
（2）求 的质量

（20）（本题满分11分）
设三阶行列式有3个不同的特征值，且
（1） 证明

(2）如果求方程组的通解

（21)（本题满分11分）
设二次型，在正交变换下的标准型为 求 的值及一个正交矩阵.

(22）（本题满分11分）
设随机变量X，Y互独立，且的概率分布为,Y概率密度为
(1) 求 (2)求的概率密度

（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量是已知的，设n次测量结果相互独立,且均服从正态分布，该工程师记录的是n次测量的绝对误差，利用估计
（I）求的概率密度

（II）利用一阶矩求的矩估计量

(III)求的最大似然估计量

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1）若反常积分收敛,则（ ）

（2）已知函数，则的一个原函数是( ）

(3）若是微分方程的两个解，则（ ）

（4）已知函数，则（ ）
(A）是的第一类间断点 （B)是的第二类间断点
（C）在处连续但不可导 （D）在处可导
(5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）
(A）与相似 （B）与相似
（C)与相似 (D）与相似
（6）设二次型,则在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）
（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲 （C）椭球面 （D）柱面
（7)设随机变量,记，则（ )
(A)随着的增加而增加 (B)随着的增加而增加
（C)随着的增加而减少 (D）随着的增加而减少
（8）随机试验有三种两两不相容的结果，且三种结果发生的概率均为，将试验独立重复做2次，表示2次试验中结果发生的次数，表示2次试验中结果发生的次数，则与的相关系数为( ）
（A) （B) （C） (D）

二、填空题:9-14小题，每小题4分,共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
(9）
（10）向量场的旋度
（11）设函数可微,由方程确定，则
（12）设函数，且,则
(13）行列式____________.
（14）设为来自总体的简单随机样本，样本均值，参数的置信度为0。95的双侧置信区间的置信上限为10。8，则的置信度为0。95的双侧置信区间为______。

三、解答题:15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域，计算二重积分。

（16）(本题满分10分）设函数满足方程其中。
证明：反常积分收敛；

若，求的值。

（17） （本题满分10分）设函数满足且是从点到点的光滑曲线，计算曲线积分，并求的最小值

（18）设有界区域由平面与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分

（19）（本题满分10分）已知函数可导，且，，设数列满足，证明：
（I）级数绝对收敛；
（II）存在，且.

（20）（本题满分11分）设矩阵
当为何值时，方程无解、有唯一解、有无穷多解?

（21）（本题满分11分)已知矩阵
（I）求
（II）设3阶矩阵满足，记将分别表示为的线性组合.

（22)（本题满分11分)设二维随机变量在区域上服从均匀分布，令

（I)写出的概率密度；

（II）问与是否相互独立？并说明理由;

(III）求的分布函数。

（23）设总体的概率密度为，其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本,令。
（1）求的概率密度

（2）确定,使得为的无偏估计

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试卷

一、选择题
(1）设函数在连续，其2阶导函数的图形如下图所示，则曲线的拐点个数为( ）
（A）0 (B)1 （C） 2 (D) 3

（ ）

( ）
（4）设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域,函数在D上连续，则( ）
（A）（B）
（C)（ D）
（5)设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6)设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为（ )
（A） （B）
（C） （D）
(7）若为任意两个随机事件，则（ )
(A） （B）
(C） （D）
（ ）

二、填空题
（9）
（10）_________。
(11）若函数由方程确定，则.
（12）设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则
（13)n阶行列式
(14）设二维随机变量服从正态分布，则
三、解答题
(15）设函数,,若与在是等价无穷小，求,，值。

（16） 设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的,曲线在点处的切线与直线及轴所围成的区域的面积为4,且求的表达式.

（17） 已知函数，曲线，求在曲线上的最大方向导数.

（18）（本题满分10分）
（Ⅰ)设函数可导，利用导数定义证明

（Ⅱ）设函数可导，写出的求导公式。

（19)（本题满分10分）
已知曲线的方程为起点为，终点为,计算曲线积分

（20)（本题满分11分）
设向量组是3维向量空间的一个基，，，。
（Ⅰ）证明向量组是的一个基;
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同,并求出所有的.

（21）（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵。
（Ⅰ）求的值。
(Ⅱ）求可逆矩阵，使得为对角阵。

（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为

对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数.
（Ⅰ）求的概率分布；
(Ⅱ）求。

(23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.
(Ⅰ）求的矩估计。
（Ⅱ)求的最大似然估计.

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列曲线有渐近线的是（ ）
(A） （B）
（C） （D)
2．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
（A）当时， （B)当时,
（C）当时, （D)当时，
3．设是连续函数，则（ ）
（A)
（B）　　　　
（C)　　　　
(D）
4．若函数，则（ ）
（A） （B) (C) (D）　
5．行列式等于（ ）
（A) (B） （C) （D）
6．设 是三维向量，则对任意的常数,向量，线性无关是向量线性无关的
（A)必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件
7．设事件A与B想到独立，则( ）
（A)0。1 （B）0。2 (C）0.3 （D)0。4
8．设连续型随机变量相互独立，且方差均存在,的概率密度分别为,随机变量的概率密度为，随机变量，则( )
（A） （B)
（C） （D)
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
9．曲面在点处的切平面方程为 ．
10．设为周期为4的可导奇函数,且，则 ．
11．微分方程满足的解为 ．
12．设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向,则曲线积分 ．
13．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 ．
14．设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数= ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限．

16．（本题满分10分）
设函数由方程确定,求的极值．

17．(本题满分10分）
设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

18．(本题满分10分）
设为曲面的上侧,计算曲面积分：

19．（本题满分10分）
设数列满足,且级数收敛．
（1）证明;

（2)证明级数收敛．

20．（本题满分11分）
设，E为三阶单位矩阵．
(1)求方程组的一个基础解系;

（2）求满足的所有矩阵．

21．(本题满分11分)
证明阶矩阵与相似．

22．（本题满分11分）
设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布．
（1)求的分布函数;

（2）求期望

23．（本题满分11分)
设总体X的分布函数为，其中为未知的大于零的参数,是来自总体的简单随机样本，
（1）求；

(2）求的极大似然估计量．

（3）是否存在常数,使得对任意的，都有？

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷
一、选择题（1~8题,每题4分）
1。已知极限，其中k，c为常数，且，则（ ）
A. B.
. D.
2。曲面在点处的切平面方程为( )
A。 B.
C. D。
3.设，,令，则（ ）
A 。 B. C. D.
4。设，，，为四条逆时针方向的平面曲线,记，则
A。 B。 C. D
5.设A,B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( ）
A。矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
6.矩阵与相似的充分必要条件为（ ）
A. B. 为任意常数
C。 D. 为任意常数
7。设是随机变量，且，，，，则（ ）
A. B.
C。 D
8。设随机变量,,给定，常数c满足，则（ ）
A. B. C. D

二、填空题（9—14小题，每小题4分）
9。设函数y=f(x）由方程y-x=ex（1-y) 确定，则＝　 。
10.已知y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x,y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=　　。
11。设　　。
12.　　　。
13。设A=（aij）是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1，2,3）,则|A｜＝　　　。
14。设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=

三．解答题:
（15）（本题满分10分）
计算,其中f(x）＝

（16)(本题10分）
设数列{an｝满足条件：
S(x）是幂级数
(1）证明：

(2）求

（17）（本题满分10分)
求函数.

(18）(本题满分10分）
设奇函数f（x）在上具有二阶导数,且f（1)=1，证明:
（I）存在

（Ⅱ）存在

19。（本题满分10分）
设直线L过A(1,0，0),B（0，1,1)两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立体为.
(1)求曲面的方程；

（2）求的形心坐标。

20。（本题满分11分）
设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B,并求所有矩阵C。

21。(本题满分11分）
设二次型，记，.
（1）证明二次型f对应的矩阵为;

（2)若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。

22.（本题满分11分）
设随机变量X的概率密度为令随机变量
(1)求Y的分布函数；

（2）求概率。

23.(本题满分11分）
设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）曲线渐近线的条数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D)3
（2）设函数，其中为正整数,则
（A） （B) （C） （D）
（3）如果函数在处连续，那么下列命题正确的是（ ）
（A)若极限存在，则在处可微
(B）若极限存在，则在处可微
(C）若在处可微，则极限存在
(D)若在处可微,则极限存在
(4）设 sinxdx(k=1，2,3），则有D
（A）I1< I2 <I3. （B) I2< I2< I3. （C) I1< I3 〈I1, （D） I1〈 I2< I3。
(5）设其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是（ ）
（A） （B） （C） (D)
（6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（ )
(A）. （B） 。
（C） . (D） 。

（7）设随机变量x与y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则( ）

（8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ）

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9)若函数满足方程及，则=________。
（10） ________.
（11） ________。
(12)设则________.
（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为________。
(14）设是随机事件，互不相容，，,则________。
三、解答题:15—23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分)
证明：

(16）（本题满分10分)
求函数的极值。

（17）（本题满分10分)
求幂级数x2n 的收敛域及和函数

(18)（本题满分10分)
已知曲线
，其中函数具有连续导数，且,，。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。

（19)（本题满分10分）
已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点的曲线段，计算曲线积分.

（20）（本题满分10分）
设．(Ⅰ）求
（Ⅱ） 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．

（21）(本题满分10分）三阶矩阵，为矩阵的转置，已知，且二次型。
1）求 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

(22）（本题满分10分)
已知随机变量以及的分布律如下表所示,

求：（1）; (2）与。

（23）(本题满分11分）
设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且，设,
（1）求的概率密度；

（2)设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量;

（3）证明为的无偏估计量。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
（1） 曲线的拐点是( )
(A) ． （B) ． (C） ． (D) ．
(2） 设数列单调减少，, 无界，则幂级数的收敛域为（ )
（A） ． （B） ． （C） ． (D) ．
（3) 设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( ）
(A) ，． (B) ，．
(C) ，． (D) ，．
（4） 设,，,则的大小关系是( )
（A） ． （B) ．
（C） ． （D) ．
（5） 设为3阶矩阵,将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则( )
(A） ． (B) ． (C) ． （D） ．
（6） 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系,则的基础解系可为（ ）
（A) ． (B） ． （C） ． (D） ．
(7) 设,为两个分布函数,其相应的概率密度，是连续函数，则必为概率密度的是（ )
（A)． (B)．
(C）． （D）．
（8) 设随机变量与相互独立，且与存在,记，则（ )
(A)． （B）．
（C)． （D)．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．
（9） 曲线的弧长 ．
（10） 微分方程满足条件的解为 ．
（11) 设函数，则 ．
(12） 设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ．
(13） 若二次曲面的方程，经过正交变换化为，则 ．
（14） 设二维随机变量服从正态分布，则= ．
三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15)（本题满分10分）
求极限．

（16)(本题满分9分）
设函数,其中函数具有二阶连续偏导数,函数可导且在处取得极值，求．

（17)（本题满分10分)
求方程不同实根的个数，其中k为参数．

（18）(本题满分10分)

（Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有 成立．

(Ⅱ)设，证明数列收敛．

(19）（本题满分11分)
已知函数具有二阶连续偏导数,且，，，其中，
计算二重积分．

(20)(本题满分11分）
设向量组，不能由向量组，，线性表示．
（I) 求的值；

（II） 将由线性表示．

(21）(本题满分11分）
设为三阶实对称矩阵，的秩为2，即,且．
（I） 求的特征值与特征向量;

(II) 求矩阵．

（22)（本题满分11分）
设随机变量与的概率分布分别为

1

且．
(I) 求二维随机变量的概率分布;

（II） 求的概率分布；

(III) 求与的相关系数．

（23）(本题满分 11分)
设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知．和分别表示样本均值和样本方差．
（I) 求参数的最大似然估计量;

(II） 计算和．

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试卷
一、选择题(1-8小题，每小题4分,共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）极限=（ ）
（A）1 （B） (C) （D）
（2)设函数由方程确定，其中为可微函数,且则=（ ）
(A) （B） (C) (D)
（3)设为正整数,则反常积分的收敛性（ )
(A)仅与取值有 （B）仅与取值有关
（C)与取值都有关 (D）与取值都无关
（4)= ( ）
(A） （B)
(C) （D)
(5)设为型矩阵为型矩阵，为阶单位矩阵，若则（ ）
(A）秩秩 （B）秩秩
（C)秩秩 (D)秩秩
（6)设为4阶对称矩阵，且若的秩为3,则相似于( ）
（A) （B）
(C） （D)
（7)设随机变量的分布函数,则=( ）
（A）0 (B）1 （C） (D）
（8）设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,
若为概率密度,则应满足（ ）
(A） (B)
（C） （D）

二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.）
（9）设求_________。
(10)= 。
(11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= 。
（12)设则的形心的竖坐标= .
(13)设若由形成的向量空间的维数是2，则= .
(14）设随机变量概率分布为则= .

三、解答题（15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
(15)(本题满分10分)
求微分方程的通解.

（16）(本题满分10分)
求函数的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分）
(1)比较与的大小,说明理由

（2）记求极限

（18）（本题满分10分）
求幂级数的收敛域及和函数.

(19）(本题满分10分）
设为椭球面上的动点，若在点的切平面与面垂直，求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球面位于曲线上方的部分。

(20)(本题满分11分)
设已知线性方程组存在两个不同的解。
（1)求

（2)求方程组的通解。

(21)(本题满分11分)
设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为
（1）求

（2）证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵。

（22)(本题满分11分)
设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度

(23）(本题满分11 分）
设总体的概率分布为

1
2
3

其中未知,以来表示来自总体的简单随机样本（样本容量为）中等于的个数试求常数使为的无偏估计量，并求的方差.

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题（1—8小题,每小题4分，共32分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。)
(1）当时,与等价无穷小，则（ ）
（A) (B) (C） (D)

（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域，,则（ ）

（A) (B） (C) （D)

(3)设函数在区间上的图形为1

-2
0
2
3

-1
O
则函数的图形为( ）
（A)
0
2
3

1
-2
-1
1
(B）
0
2
3

1
-2
-1
1

(C）
0
2
3

1
-1
1
（D)
0
2
3

1
-2
-1
1

(4）设有两个数列,若，则( ）
(A)当收敛时,收敛. （B)当发散时,发散。
（C)当收敛时，收敛。 （D）当发散时，发散.
(5）设是3维向量空间的一组基,则由基到基的过渡矩阵为（ ）
(A） （B）
(C) （D)
（6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若，则分块矩阵的伴随矩阵为
(A) (B)
（C） (D）
(7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数,则（ )
(A)0 (B）0。3 (C)0.7 (D）1
（8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）
(A）0 (B）1 (C）2 （D)3

二、填空题(9—14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。)
（9)设函数具有二阶连续偏导数,,则 。
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为 .
(11)已知曲线,则 .
(12)设,则 。
（13）若3维列向量满足,其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 。
(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量,则 .

三、解答题（15－23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15)（本题满分9分)
求二元函数的极值。

（16)(本题满分9分）
设为曲线与所围成区域的面积，记,求与的值.

（17）（本题满分11分）
椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成.
（1)求及的方程. (2）求与之间的立体体积。

(18)(本题满分11分）
(1）证明拉格朗日中值定理:若函数在上连续,在可导,则存在，使得.
(2)证明:若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且

(19）(本题满分10分)
计算曲面积分,其中是曲面的外侧.

（20)(本题满分11分)
设,
（1)求满足的。的所有向量,。 (2）对(1)中的任意向量,证明无关.

(21)(本题满分11分)
设二次型。
(1)求二次型的矩阵的所有特征值； （2)若二次型的规范形为，求的值。

(22)（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次,每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
(1) 求. （2）求二维随机变量概率分布

(23)(本题满分11 分)
设总体的概率密度为,其中参数未知,，,…是来自总体的简单随机样本.
（1)求参数的矩估计量。
(2）求参数的最大似然估计量.
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。)
(1)设函数则的零点个数( ）
(A)0 (B）1 （C)2 (D）3
（2）函数在点处的梯度等于（ ）
(A) (B)- （C) （D)
（3)在下列微分方程中，以(为任意常数）为通解的是（ ）
(A) (B）
(C） （D）
（4）设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是( )
(A)若收敛,则收敛 （B)若单调,则收敛
(C）若收敛，则收敛 (D）若单调,则收敛
（5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵。 若，则（ ）
(A)不可逆，不可逆 (B）不可逆,可逆
（C）可逆,可逆 (D)可逆,不可逆
(6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）
（A）0 （B)1 （C)2 （D)3

(7）设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为（ ）
（A) (B) (C） (D)
（8)设随机变量,且相关系数，则( )
(A） （B)
（C) (D)

二、填空题（9-14小题，每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。）
（9）微分方程满足条件的解是.
(10）曲线在点处的切线方程为。
（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。
(12）设曲面是的上侧,则。
（13)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为。
（14)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.

三、解答题（15－23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
(15）(本题满分10分)
求极限。

(16）(本题满分10分)
计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段.

(17）(本题满分10分)
已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点.

（18）（本题满分10分）
设是连续函数，
（1）利用定义证明函数可导,且.

(2)当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数.

(19）（本题满分10分)
将函数,用余弦级数展开,并求的和。

(20)(本题满分11分)
设为3维列向量，矩阵,其中，分别是,的转置.证明:
(I) 秩；
（II） 若线性相关,则秩。

（21)(本题满分11分)
设元线性方程组，其中
,，，
（I) 证明行列式；

(II） 当为何值时，该方程组有唯一解，并求；

(III) 当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.

(22)（本题满分11分)
设随机变量与相互独立,的概率分布为，的概率密度为,记，
（1）求.

(2)求的概率密度.

（23）(本题满分11分)
设是总体为的简单随机样本。
记，，
（1）证明是的无偏估计量。

（2)当时 ,求.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后,希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。