解三角形中的边角互换导学提纲.doc

建水实验中学课堂导学提纲（高三数学文） 使用时间:9月15日 主编：吕达才 编号： ZZDG-必修③-07
解三角形中的边角互换导学提纲
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学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。
重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。
难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。
导学流程：
例1．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=( )
（A） （B） （C） （D）
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A，根据正弦定理及得：
，。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
例2在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角
（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即 由余弦定理得 故 ，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，象本例中B+C＝60°
例3. 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用。
【思路点拨】此题事实上比较简单,但学生不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而做不出来.
【规范解答】法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:（实现角边互换,从而找到解题突破口）
化简并整理得：.又由已知.解得.
法二：由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
由①，②解得.
评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.

当堂练习：1.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若，，求b．
2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________________。
3.在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为( )
A. B. C.或 D. 或

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