上海高一数学上知识点例题总结.pdf

Do Your Best ！1高一上学期数学知识高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结概念方法题型易误点技巧总结一、集合与命题一、集合与命题1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的尤其要注意元素的互异性互异性，如（1）设为两个非空实数集合，定义集合，若PQ、|,PQab aP bQ，则中元素的有_个。（答：8）（2）非空集合0,2,5P 6,2,1QPQ，且满足“若，则”，这样的共有_个（答：7）5,4,3,2,1SSaSa6S2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当AB A B 时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合是任何集合的子集，是任何非空集合ABA的真子集的真子集。如如集合，且，则实数|10Ax ax 2|320Bx xxABB_.（答：）a10,1,2a 3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数nM依次为 如如满足集合 M 有_个。，n2，12 n，12 n.22 n1,21,2,3,4,5M（答：7）4.集合的运算性质：；ABABAABBBAAB；uuABuuABAB uABUAB()UCAB；.如如设全集，若，UUC AC B()UUUCABC AC B5,4,3,2,1 U2 BA，则 A_，B_.（答：，4)(BACU5,1)()(BCACUU2,3A）2,4B 5.研究集合问题，一定要理解集合的意义理解集合的意义抓住集合的代表元素抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函|x yf x|y yf x(,)|x yyf x数图象上的点集，如如设集合，集合 N，则|2Mx yx2|,y yxxM_ _MN（答：）；4,)6.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身计算时不要忘了集合本身和空集和空集这两种特殊情况，补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如如已知关于的不等式的解集为，若且求实数的取值范围。x250axxaM3M5Ma（答：）519 253a、7.四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命题为“若则”；逆否命题为“若则”。提醒提醒：（1 1）互为逆否关系的命题是等价命pqqp题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2 2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非或即且，非且即或非且即或”；（3 3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4 4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。ABBA（5 5）哪些命题宜用反证法？如（如（1 1）“在ABC 中，若C=900，则A、B 都是锐角”的否命题为（答：在中，若，则不都是锐角）；ABC90C,AB（2 2）已知函数，证明方程没有负数根。2(),11xxf xaax0)(xf Do Your Best ！28.充要条件充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则 A 是 B 的充分条件；若，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则 A 是 BBABA的充要条件。如如设命题 p：；命题 q:。若是|43|1x0)1()12(2aaxaxp的必要而不充分的条件，则实数 a 的取值范围是 （答：）q10,2二、不等式二、不等式1.不等式的性质不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,ab cd，则acbd（若,ab cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则abcd）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；（4）若0ab，ab，则11ab；若0ab，ab，则11ab。如（如（1 1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab、，则0,0ab。其中正确的命题是_（答：）（2 2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是_（答：）1,7（3 3）已知cba，且,0cba则ac的取值范围是_ （答：）12,22.不等式大小比较的常用方法：不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如如设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（答：）pq3.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，axb0a bxa0a bxa0a 0b；当时，。如如已知关于的不等式的解集为xR0b xx0)32()(baxba，则关于的不等式的解集为_（答：)31,(x0)2()3(abxba）|3x x 4.一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示0 0 吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：0a 12,x x20axbxc12xx20axbxc20axbxc20axbxc20axbxc Do Your Best ！30 或1|x xx2xx或1|x xx2xx12|x xxx12|x xxx0|2bx xa R|2bx xa 0 RR如如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，x01)1(2xaax0a 1x 0a 或；当时，；当时，；当时，1x 1xa01a11xa1a x1a）11xa5.对于方程对于方程有实数解的问题有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为02cbxaxa0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次0a042acb项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（如：（1 1）对222210axax 一切恒成立，则的取值范围是_（答：）；（2 2）关于的方程Rxa(1,2x有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)()f xkkDD()f x6.一元二次方程根的分布理论一元二次方程根的分布理论。方程在上有两2()0(0)f xaxbxca),(k根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？(,)m n),(k),(k（0()02f kbka、）。根的分布理论成0()0()02f mf nbman ()0f k 立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开,nm0)(xf区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况),(nmnx mx 如如在区间上至少存在一个实数，使12)2(24)(22ppxpxxf 1,1c，求实数的取值范围。（答：）0)(cfp3(3,)27.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二20axbxc20(0)axbxc次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（如（1 1）不等式的解2yaxbxcx32xax集是，则=_（答：）；（2 2）若关于的不等式的解(4,)ba18x02 cbxax集为，其中，则关于的不等式的解集为),(),(nm 0 nmx02 abxcx_（答：）；（3 3）不等式对恒),1()1,(nm23210 xbx 1,2x 成立，则实数的取值范围是_（答：）。b8.简单的一元高次不等式的解法：标根法：简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如：如：（1）解不等式2(1)(2)0 xx。（答：）1,2 y (a0)O k x1 x2 x Do Your Best ！4（2）不等式2(2)230 xxx的解集是_（答：）3,1（3）设函数()f x、()g x的定义域都是 R，且()0f x 的解集为|12xx，()0g x 的解集为，则不等式()()0f x g x A的解集为_（答：）,12,（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是.（答：）817,89.分式不等式的解法：分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如：如：（1）解不等式25123xxx （答：）1,12,3（2）关于x的不等式0bax的解集为),1(，求关于x的不等式02xbax的解集（答：）,12,10.绝对值不等式的解法：绝对值不等式的解法：（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如如解不等式|21|2|432|xx（答：）R（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|1|3xx（答：）,12,（4）两边平方：如如若不等式|32|2|xxa对任意xR恒成立，则实数a的取值范围。（答：）43 11.含参不等式的解法：含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.（见 4 中例题）12.含绝对值不等式的性质：含绝对值不等式的性质：ab、同号或有同号或有0|abab|abab；ab、异号或有异号或有0|abab|abab.如如设2()13f xxx，实数a满足|1xa，求证：|()()|2(|1)f xf aa13.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，一正二定三相等，和定积最大，积定和最小积定和最小”这这 17 字方针。字方针。如：如：（1）下列命题中正确的是A.1yxx的最小值是 2 B.2232xyx的最小值是 2C.423(0)yxxx的最大值是24 3D.423(0)yxxx的最小值是24 3（2）若21xy，则24xy的最小值是_（答：）2 2（3）正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为_（答：）32 2 Do Your Best ！514.常用不等式常用不等式有：（1）2222211abababab(当且仅当abc时，取等号)，根据目标不等式左右的结构选用；（2），abcR、222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_（答：）9,15.15.证明不等式的方法：证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。常用的放缩技巧有常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnn nnn nnn11111121kkkkkkkkk 如如（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；(2)已知Rcba,，求证：)(222222cbaabcaccbba；（3）已知,a b x yR，且11,xyab，求证：xyxayb；(4)若*nN，求证：2(1)1(1)nn 21nn；(5)已知|ab，求证：|abababab；16.不等式的恒成立不等式的恒成立,能成立能成立,恰成立等问题：恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）（1）恒成立问题恒成立问题若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB如如（1）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围（2）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围（3）若不等式22210 xmxm 对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.（2）能成立问题能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；Do Your Best ！6若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_（3）恰成立问题恰成立问题若不等式 Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Axf的解集为D；若不等式 Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Bxf的解集为D.三、函数三、函数1.函数的定义域函数的定义域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一x个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（如（1 1）已知函数，y()f x，那么集合中所含元素的个数有 个xF(,)|(),(,)|1x yyf x xFx yx（答：0 或 1）；（2 2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则42212xxy2,2b （答：2）b2.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数数。如如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个（答：9）2yx3.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0 次幂的底数不能为零。如（如（1 1）函数的定义域是_(答：)；（2 2）若043xxyx(0,2)(2,3)(3,4)函数的定义域为 R，则_(答：)；（3 3）函数的定2743kxykxkxk30,4()f x义域是，则函数的定义域是_(答：,a b0ba ()()()F xf xfx)；,aa（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义()f x,a b()f g x域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，()ag xb()f g x,a b()f x相当于当时，求的值域（即的定义域）。如（如（1 1）若函数的,xa b()g x()f x)(xfy 定义域为，则的定义域为_（答：）；（2 2）若函数2,21(2)xf42|xx的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5）2(1)f x 2,1)()f x4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问二次函数的最值问,m n题，勿忘数形结合题，勿忘数形结合，注意“两看两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（如（1 1）求函数的值域（答：4,8）；（2 2）当时，225,1,2yxxx 2,0(x函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：3)1(4)(2 xaaxxf2 xa）；特别说明：特别说明：二次函数在区间上最值的求法，一定要注意顶点的21 a,m n Do Your Best ！7横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案:先看看是否在内，2ba,m n如果在的话，算三个数,三数中谁最大谁就是最大值，谁最小谁就()()2bf mf nfa、是最小值。如果不在的话，只要算两个数，大的就最大值，小的就最小值。()f mf n、（2）换元法换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（如（1 1）的值域为211yxx _（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元运用换元法时，要特别要注意新元 的范围的范围）(3,)1xt 0t t；（3）函数有界性法函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，（4）单调性法单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如如求的值域为_（答：）；1(19)yxxx80(0,)9（5）判别式法判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如如求的值域（答：）2bykx232yx3(0,2型，先化简，再用均值不等式，如（如（1 1）求的值域（答：2bxyxmxn21xyx）；（2 2）求函数的值域（答：）1(,223xyx10,2型，通常用判别式法；如如已知函数的定义域为22xm xnyxmxn2281mxxnyxR，值域为，求常数的值（答：）1 9、,m n5mn型，可用判别式法或均值不等式法，如如求的值域2xm xnymxn211xxyx（答：）(,31,)（6）不等式法不等式法利用基本不等式求函数的最值，其题型特2(,)abab a bR征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。提醒提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？5.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值求分段函数的值时，一定首先要时，一定首先要0()f x判断判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内0 x不同子集上各关系式的取值范围的并集不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（如（1 1）设函数，则使2(1).(1)()41.(1)xxf xxx得的自变量的取值范围是_（答：）；（2 2）已知()1f x x(,20,10，则不等式的解集是_（答：1(0)()1(0)xf xx(2)(2)5xxf x Do Your Best ！8）3(,26.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：2()f xaxbxc2()()f xa xmn，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。12()()()f xa xxxx如如已知为二次函数，且，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线()f x)2()2(xfxf段长为 2,求的解析式。（答：）2()f x21()212f xxx（2）代换（配凑）法代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（如（1 1）()f g x()f x若，则函数=_（答：）；（2 2）若函数221)1(xxxxf)1(xf223xx是定义在 R 上的奇函数，且当时，那么当)(xf),0(x)1()(3xxxf时，=_（答：）.这里需值得注意值得注意的是所求解析式的)0,(x)(xf3(1)xx定义域的等价性，即的定义域应是的值域。()f x()g x（3）方程的思想方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特()f x征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（如（1 1）已知()f x，求的解析式（答：）；（2 2）已知是()2()32f xfxx()f x2()33f xx()f x奇函数，是偶函数，且+=,则=_（答：）。)(xg()f x)(xg11x()f x21xx 7.函数的奇偶性函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如如判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。2|4|49xyx利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如如()()0f xfx()1()fxf x()0f x 判断的奇偶性_.（答：偶函数）11()()212xf xx图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。y（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.()f x()()(|)fxf xfx若奇函数定义域中含有 0，则必有.故是为奇函数的()f x(0)0f(0)0f()f x既不充分也不必要条件。如如若为奇函数，则实数_（答：1）.22()21xxaaf xa定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如如设是定义域为 R 的任一函数，)(xf()()()2f xfxF x Do Your Best ！9。判断与的奇偶性；若将函数，表()()()2f xfxG x)(xF)(xG()101xf x 示成一个奇函数和一个偶函数之和，则_（答：为偶函数，)(xg)(xh)(xg)(xF为奇函数；）)(xG)(xg12x复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.()0f x 8.函数的单调性函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）如如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_(答：)；3()f xxax1,)a(0,3在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意特别要注意(0byaxax型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间0)b(,)bbaa 为.（例如函数递增区间；单调递减区间,0),(0,bbaa4yxx,2,2,是）如（如（1 1）若函数 在区间上是减函数，2,0,0,22)1(2)(2xaxxf4、那么实数的取值范围是_(答：）)；（2 2）已知函数在区间a3a1()2axf xx上为增函数，则实数的取值范围_（答：）；2,a1(,)2复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减同增异减，（2）特别提醒：特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如如求函数的2()43f xxx单调递增区间；二是在多个单调区间之间不一定不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如如已知奇函数是定义在上的减函数,若，)(xf)2,2(0)12()1(mfmf求实数的取值范围。（答：）m1223m9.常见的图象变换常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单axfy)0(a xfy xa位得到的。如如设的图像由的图像向左平移 1 个单位得到，则()2,()xf xg x()f x为_(答：)()g x1()2xg x函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单axfy)0(a xfy xa位得到的。如（如（1 1）若，则函数的最小值为_(答：2)；2(199)443f xxx()f x（2 2）要得到的图像，只需作关于_轴对称的图像，再向_平移 3 个(3)2xy2xy 单位而得到(答：；右)；y特别提示：上面两种是左右平移，可以间记为特别提示：上面两种是左右平移，可以间记为“左加右减左加右减”函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单 xfy a)0(a xfy ya位得到的；函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单 xfy a)0(a xfy ya Do Your Best ！10位得到的；如如将函数的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得aaxby图象如果与原图象关于直线对称,那么 xy 0,1)(baARbaB,1)(答：C)0,1)(baCRbaD,0)(特别提示：上面两种是上下平移，可以间记为特别提示：上面两种是上下平移，可以间记为“上加下减上加下减”10.函数的对称性函数的对称性。满足条件的函数的图象关于直线对称。如如已知二f xaf bx2abx 次函数满足条件且方程有等根，则)0()(2abxaxxf)3()5(xfxfxxf)(_(答：)；)(xf212xx点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为(,)x yy(,)x y xfy y；xfy点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为(,)x yx(,)xy xfy x；xfy点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为(,)x y(,)xy xfy；xfy形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(0,)axbycadbccxddxc(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。aycx(,)d ac c如如已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点C2:(1)1C y xaaxayxC（2，3）对称，则 a 的值为_（答：2）的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴|()|f x()f xxxx的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图x(|)fx()f xy象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如如若函数yyy是定义在 R 上的奇函数，则函数的图象关于_对称（答：)(xf)()()(xfxfxF轴）y提醒提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面需证两方面：证明1C2C上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；证明上任意点关于对称中1C2C2C心（对称轴）的对称点仍在上。1C11.指数式、对数式指数式、对数式：，mnmnaa1mnmnaa01a 12.指数的大小比较指数的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0 或 1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。13.函数的应用函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；Do Your Best ！11建立型。byaxx14.14.抽象函数抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究借鉴模型函数进行类比探究。尤其是选择题中，你可以举一个特殊的函数例子满足这个抽象函数去验证就可以啦。几类常见的抽象函数：正比例函数型：-；()(0)f xkx k()()()f xyf xf y幂函数型：-，；2()f xx()()()f xyf x f y()()()xf xfyf y指数函数型：-，；()xf xa()()()f xyf x f y()()()f xf xyf y（2）利用一些方法（如赋值法（令利用一些方法（如赋值法（令0 0 或或 1 1，求出，求出或或、令、令或或x(0)f(1)fyx等）等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（如（1 1）若，满足yx xR()f x()()f xyf x，则的奇偶性是_（答：奇函数）；（2 2）若，满足()f y()f xxR()f x()()f xyf x，则的奇偶性是_（答：偶函数）；（3 3）设的定义域为，对任()f y()f x()f xR意，都有，且时，又，求证,x yR()()()xff xf yy1x()0f x 1()12f为减函数；解不等式.（答：）()f x2()(5)f xfx 0,14,5