数学分析实数集与函数练习题.doc

第一章 实数集与函数
一、填空题
1． 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
2． 设，，则_______
3．函数 的定义域是　　　　　　　　　　 　　　　　 ；
４．函数 的定义域是 ；
５．设 ，则 = ；
６．函数 的周期是 ；
７．把函数 分解为简单函数 ；
８．函数 的反函数是 ；
９．函数 的反函数是 ；
10．设 则 ；
11．的定义域是 ，值域是 ；
12．若，则 ， ；
13．若，则 ；
14．设，则的定义域是 ， ， ；
15．函数的定义域是 ；
16．设的定义域是，则的定义域是 ；
17．设函数则 ；
18．设 ，则 ；
19．函数的反函数是 ；
20．函数的反函数是 ；
二、选择填空
1．点的邻域是区间（　　　）．
　　　　　　］
［　　　　　（）
2．函数的定义域是（　　　）．

3．设 ，则的定义域是（ ）．
[
4．函数的定义域是（ ）．

5．函数的定义域是（　　　）．

6．函数的定义域是（ ）．

7．若，则（ ）．

8． ，则（ ）
0 1
9．如果，则将表示成的函数是（ ）

三、计算题
1．试在数轴上表示出下面不等式的解:
(1) x(x2-1)>0; (2) |x-1|<|x-3|; (3);
2．设a与b为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:
(1) |x-a|<|x-b|; (2) |x-a|<x-b; (3) |x2-a|<b.
3．用区间表示下列不等式的解:
(1) |1-x|-x≥0; (2) |x+|≤6; (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0,(a、b、c为常数且a<b<c);
(4)sinx≥.
4．确定下列初等函数的存在域:
(1) y=sin(sinx); (2) y=lg(lgx);(3) y=arcsin; (4) y=lg.
5. 设函数

求 (1) f(-3),f(0),f(1); (2) f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0) (△x>0).
6. 设函数f(x)=,求f(x+2),f(2x),f(x2),f(f(x)),f()
7.试问下列复合函数是由那些些初等函数复合而成:
(1) y=(1+x)20; (2) y=(arcsinx2)2; (3) y=lg(1+); (4) y=
8.求下列函数的周期:
(1) f(x)=cos2x; (2) f(x)=2tg(3x); (3) f(x)=cos+2sin.
9. 设函数f(x)=,求:
f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(),,f(x2),f(f(x)).
10. 已知f ()=x+,求f(x).
四、证明题
1． 证明: 对任何x∈R,有
(1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.
2．设a、b、c为三个任意的实数,证明:

你能说明此不等式的几何意义吗?
3． 设x>0,b>0且a≠b,证明介于1与之间.
4．求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.
(1) S={x|x2<2};
(2) S={x|x=n!,n为自然数};
(3) S={x|x为(0,1)内的无理数};
(4) S={x|x=1-,n=1,2,…}.
5． S为非空有下界数集.证明: infS=ξ∈S的充要条件是ξ=minS.
6．设S是非空数集,定义S={x|-x∈S },证明:
(1)infS—=-supS; (2) supS—=infS.
7．设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}.
证明:(1)sup(A+B)=supA+supB; (2) inf(A+B)=infA+infB.
8. 证明: f(x)=是R上的有界函数.
9. 证明下列函数在指定区间上的单调性:
(1) y=3x-1在(-∞,+∞)内严格递增;
(2) y=sinx在上严格递增;
(3) y=cocx在[0,π]上严格递减.
10. 证明: 设f(x)为严格单调函数,若f(x1)=f(x2),则x1=x2.
11. 设f(x)为定义在[-a,a]上的任一函数,证明:
(1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数;
(2)G(x)=f(x)-f(-x) x∈[-a,a]为奇函数.
(3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和
12. 设f(x)、g(x)为定义在D上的有界函数,且f(x)≤g(x),x∈D,证明:
(1) ; (2) .
13. 设f为定义在D上的有界函数,证明:
(1) ; (2)
14. 证明:函数f(x)=tgx在内可无界函数,但在内任一闭区间[a,b]上有界
15. 证明: f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)内是严格递增函数
16. 设a,b为实数,证明:
(1) max{a,b}=(a+b+|a-b|); (2) min{a,b}=(a+b-|a-b|).
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