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2018年高考数学(理科)模拟试卷(四).docx

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2018年高考数学(理科)模拟试卷(四) 2018年高考数学(理科)模拟试卷(四) 编辑整理: 尊敬的读者朋友们: 这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018年高考数学(理科)模拟试卷(四))的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。 本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快 业绩进步,以下为2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)的全部内容。 2018年高考数学(理科)模拟试卷(四) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分,考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题 满分60分) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意) 1.[2016·成都诊断考试]已知集合A={x|y=},B={x||x|≤2},则A∪B=(  ) A.[-2,2] B.[-2,4] C.[0,2] D.[0,4] 2.[2016·茂名市二模]“a=1"是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的(  ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[2017·呼和浩特调研]设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则k等于(  ) A. B.± C.± D。 4.[2016·洛阳第一次联考]如果圆x2+y2=n2至少覆盖曲线f(x)=sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点,则正整数n的最小值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图,则输出的S值为(  ) A。 B。 C. D。 6.[2016·贵阳一中质检]函数g(x)=2ex+x-3t2dt的零点所在的区间是(  ) A.(-3,-1) B.(-1,1) C.(1,2) D.(2,3) 7.[2016·浙江高考]在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=(  ) A.2 B.4 C.3 D.6 8.[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.24+6π B.12π C.24+12π D.16π 9.[2016·南京模拟]已知四面体P-ABC中,PA=4,AC=2,PB=BC=2,PA⊥平面PBC,则四面体P-ABC的外接球半径为(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 10.[2016·四川高考]在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(  ) A. B。 C。 D. 11.[2016·山西质检]记Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若-7·-8=0,且正整数m,n满足a1ama2n=2a,则+的最小值是(  ) A. B. C。 D. 12.[2016·海口调研]已知曲线f(x)=ke-2x在点x=0处的切线与直线x-y-1=0垂直,若x1,x2是函数g(x)=f(x)-|ln x|的两个零点,则(  ) A.1<x1x2〈 B。<x1x2〈1 C.2<x1x2〈2 D。〈x1x2〈2 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则:(ⅰ)如果开启1号阀门,那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门;(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门,那么要关闭4号阀门;(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门,现在要开启1号阀门,则同时开启的2个阀门是________. 14.[2017·云南检测]若函数f(x)=4sin5ax-4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则实数a的值为________. 15.[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C:-=1(a〉0,b〉0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率e为________. 16.[2016·广州综合测试]已知函数f(x)= 则函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数为________个. 三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1。5千米/秒. (1)设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求x的值; (2)求P到海防警戒线AC的距离. 18.[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一:每满200元减50元; 方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别) 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价 (1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率; (2)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 19.[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD中,AB=1,AD=.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB与CD,AD与BC能否垂直?若能垂直,求出相应的a值;若不垂直,请说明理由. (2)当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值. 20.[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x 的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 21.[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)=ax-ln x-4(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=2时,若存在区间[m,n]⊆,使f(x)在[m,n]上的值域是,求k的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的方程为x2+y2=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ-sinθ)=6。 (1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2,试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程; (2)设P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的最大距离. 23.[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=+的最大值为M. (1)求实数M的值; (2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集. 参考答案(四) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意) 1.[2016·成都诊断考试]已知集合A={x|y=},B={x||x|≤2},则A∪B=(  ) A.[-2,2] B.[-2,4] C.[0,2] D.[0,4] 答案 B 解析 A={x|0≤x≤4},B={x|-2≤x≤2},故A∪B={x|-2≤x≤4},故选B。 2.[2016·茂名市二模]“a=1"是“复数z=(a2-1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的(  ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a2-1+2(a+1)i为纯虚数,则a2-1=0,a+1≠0,所以a=1,反之也成立.故选A. 3.[2017·呼和浩特调研]设直线y=kx与椭圆+=1相交于A,B两点,分别过A,B向x轴作垂线,若垂足恰好为椭圆的两个焦点,则k等于(  ) A。 B.± C.± D。 答案 B 解析 由题意可得c=1,a=2,b=,不妨取A点坐标为,则直线的斜率k=±. 4.[2016·洛阳第一次联考]如果圆x2+y2=n2至少覆盖曲线f(x)=sin(x∈R)的一个最高点和一个最低点,则正整数n的最小值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 最小范围内的至高点坐标为,原点到至高点距离为半径,即n2=+3⇒n=2,故选B. 5.[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图,则输出的S值为(  ) A。 B. C. D. 答案 A 解析 由程序框图可知,输出的结果是首项为,公比也为的等比数列的前9项和,即,故选A. 6.[2016·贵阳一中质检]函数g(x)=2ex+x-3t2dt的零点所在的区间是(  ) A.(-3,-1) B.(-1,1) C.(1,2) D.(2,3) 答案 C 解析 因为3t2dt=t3=8-1=7,∴g(x)=2ex+x-7,g′(x)=2ex+1〉0,g(x)在R上单调递增,g(-3)=2e-3-10<0,g(-1)=2e-1-8<0,g(1)=2e-6〈0,g(2)=2e2-5〉0,g(3)=2e3-4〉0,故选C. 7.[2016·浙江高考]在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=(  ) A.2 B.4 C.3 D.6 答案 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形,又C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|==3。故选C. 8.[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.24+6π B.12π C.24+12π D.16π 答案 A 解析 由三视图可知,该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体,该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成,所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积,即S1=3×4π×12=12π;正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2=6(22-π×12)=24-6π.所以该组合体的表面积为S=S1+S2=12π+(24-6π)=24+6π. 9.[2016·南京模拟]已知四面体P-ABC中,PA=4,AC=2,PB=BC=2,PA⊥平面PBC,则四面体P-ABC的外接球半径为(  ) A.2 B.2 C.4 D.4 答案 A 解析 PA⊥平面PBC,AC=2,PA=4,∴PC=2,∴△PBC为等边三角形,设其外接圆半径为r,则r=2,∴外接球半径为2。故选A. 10.[2016·四川高考]在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(  ) A. B. C. D。 答案 B 解析 由||=||=||知,D为△ABC的外心.由·=·=·知,D为△ABC的内心,所以△ABC为正三角形,易知其边长为2.取AC的中点E,因为M是PC的中点,所以EM=AP=,所以||max=|BE|+=,则||=,选B. 11.[2016·山西质检]记Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若-7·-8=0,且正整数m,n满足a1ama2n=2a,则+的最小值是(  ) A. B。 C。 D。 答案 C 解析 ∵{an}是正项等比数列,设{an}的公比为q(q>0),∴=q6,=q3,∴q6-7q3-8=0,解得q=2,又a1ama2n=2a,∴a·2m+2n-2=2(a124)3=a213,∴m+2n=15,∴+=(m+2n)=≥=,当且仅当=,n=2m,即m=3,n=6时等号成立,∴+的最小值是,故选C. 12.[2016·海口调研]已知曲线f(x)=ke-2x在点x=0处的切线与直线x-y-1=0垂直,若x1,x2是函数g(x)=f(x)-|ln x|的两个零点,则(  ) A.1〈x1x2< B.<x1x2〈1 C.2〈x1x2〈2 D。<x1x2<2 答案 B 解析 依题意得f′(x)=-2ke-2x,f′(0)=-2k=-1,k=.在同一坐标系下画出函数y=f(x)=e-2x与y=|ln x|的大致图象,结合图象不难看出,这两条曲线的两个交点中,其中一个交点横坐标属于区间(0,1),另一个交点横坐标属于区间(1,+∞),不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有e-2x1=|ln x1|=-ln x1∈,e-2x2=|ln x2|=ln x2∈,e-2x2-e-2x1=ln x2+ln x1=ln (x1x2)∈,于是有e<x1x2<e0,即<x1x2〈1,选B. 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.[2017·安徽合肥统考]一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气,使用这些阀门必须遵守以下操作规则:(ⅰ)如果开启1号阀门,那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门;(ⅱ)如果开启2号阀门或者5号阀门,那么要关闭4号阀门;(ⅲ)不能同时关闭3号阀门和4号阀门,现在要开启1号阀门,则同时开启的2个阀门是________. 答案 2或3 解析 若要开启1号阀门,由(ⅰ)知,必须开启2号阀门,关闭5号阀门,由(ⅱ)知,关闭4号阀门,由(ⅲ)知,开启3号阀门,所以同时开启2号阀门和3号阀门. 14.[2017·云南检测]若函数f(x)=4sin5ax-4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,则实数a的值为________. 答案 ± 解析 因为f(x)=8sin,依题意有,=,所以T=,又因为T=,所以=,解得a=±。 15.[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C:-=1(a〉0,b〉0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率e为________. 答案 +1 解析 ∵直线y=(x+c)过左焦点F1,且其倾斜角为30°,∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,∴∠F2PF1=90°,即F1P⊥F2P.∴|PF2|=|F1F2|=c,|PF1|=|F1F2|·sin60°=c,由双曲线的定义得2a=|PF1|-|PF2|=c-c,∴双曲线C的离心率e===+1. 16.[2016·广州综合测试]已知函数f(x)= 则函数g(x)=2|x|f(x)-2的零点个数为________个. 答案 2 解析 由g(x)=2|x|f(x)-2=0,得f(x)=21-|x|,画出y=与y=21-|x|的图象,可知,它们有2个交点,所以零点个数为2. 三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒. (1)设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求x的值; (2)求P到海防警戒线AC的距离. 解 (1)依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12。(2分) 在△PAB中,AB=20,cos∠PAB===, 同理,在△PAC中, AC=50,cos∠PAC===.(4分) ∵cos∠PAB=cos∠PAC,∴=, 解得x=31。(6分) (2)作PD⊥AC于点D,在△ADP中, 由cos∠PAD=, 得sin∠PAD==,(9分) ∴PD=PAsin∠PAD=31×=4. 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.(12分) 18.[2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一:每满200元减50元; 方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别) 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价 (1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率; (2)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算? 解 (1)记顾客获得半价优惠为事件A,则P(A)==,(2分) 两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P=1-P()P()=1-2=.(4分) (2)若选择方案一,则付款金额为320-50=270元.(6分) 若选择方案二,记付款金额为X元,则X可取160,224,256,320。 P(X=160)=, P(X=224)==, P(X=256)==, P(X=320)==,(9分) 则E(X)=160×+224×+256×+320×=240. ∵270>240, ∴第二种方案比较划算.(12分) 19.[2016·贵州四校联考](本小题满分12分)已知长方形ABCD中,AB=1,AD=.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB与CD,AD与BC能否垂直?若能垂直,求出相应的a值;若不垂直,请说明理由. (2)当四面体A-BCD体积最大时,求二面角A-CD-B的余弦值. 解 (1)若AB⊥CD,因为AB⊥AD,AD∩CD=D, 所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC。 即AB2+a2=BC2⇒12+a2=()2⇒a=1.(2分) 若AD⊥BC,因为AD⊥AB,AB∩BC=B, 所以AD⊥面ABC⇒AD⊥AC, 即AD2+a2=CD2⇒()2+a2=12⇒a2=-1,无解, 故AD⊥BC不成立.(4分) (2)要使四面体A-BCD体积最大,因为△BCD面积为定值,所以只需三棱锥A-BCD的高最大即可,此时面ABD⊥面BCD。(6分) 过A作AO⊥BD于O,则AO⊥面BCD, 以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图), 则易知A,C,D 显然,面BCD的法向量为=。(8分) 设面ACD的法向量为n=(x,y,z). 因为=,=, 所以令y=, 得n=(1,,2),(10分) 故二面角A-CD-B的余弦值即为 |cos〈,n>|==.(12分) 20.[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x 的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 解 由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0, 且A,B,P,Q, R,. 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0。 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1=====-b=k2, 所以AR∥FQ.(5分) (2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a|·|FD|=|b-a|,S△PQF=。 则题设可得|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1),而=y,所以y2=x-1(x≠1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),满足方程y2=x-1. 所以,所求轨迹方程为y2=x-1。(12分) 21.[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)已知函数f(x)=ax-ln x-4(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=2时,若存在区间[m,n]⊆,使f(x)在[m,n]上的值域是,求k的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=, 当a≤0时,f′(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数, 当a>0时,令f′(x)=0,则x=,当x∈时,f′(x)〈0,f(x)为减函数, 当x∈时,f′(x)>0,f(x)为增函数,(3分) ∴当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上为减函数;当a〉0时,f(x)在上为减函数,在上为增函数.(4分) (2)当a=2时,f(x)=2x-ln x-4,由(1)知:f(x)在上为增函数,而[m,n]⊆, ∴f(x)在[m,n]上为增函数,结合f(x)在[m,n]上的值域是知:f(m)=,f(n)=,其中≤m<n,则f(x)=在上至少有两个不同的实数根,(6分) 由f(x)=,得k=2x2-2x-(x+1)ln x-4, 记φ(x)=2x2-2x-(x+1)ln x-4,x∈,则φ′(x)=4x--ln x-3, 记F(x)=φ′(x)=4x--ln x-3,则F′(x)==>0, ∴F(x)在上为增函数,即φ′(x)在上为增函数,而φ′(1)=0, ∴当x∈时,φ′(x)〈0,当x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0, ∴φ(x)在上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,(10分) 而φ=,φ(1)=-4,当x→+∞时,φ(x)→+∞,故结合图象得: φ(1)〈k≤φ⇒-4<k≤,∴k的取值范围是.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.[2016·陕西八校联考](本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1的方程为x2+y2=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ-sinθ)=6. (1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2,试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程; (2)设P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的最大距离. 解 (1)由题意知,直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0.(2分) ∵曲线C2的直角坐标方程为:2+2=1, 即+=1,(4分) ∴曲线C2的参数方程为(θ为参数).(5分) (2)设点P的坐标(cosθ,2sinθ),则点P到直线l的距离为d==, ∴当cos=-1时,dmax==2。(10分) 23.[2016·南昌一模](本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=+的最大值为M. (1)求实数M的值; (2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集. 解 (1)f(x)=+≤2=3, 当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3。(5分) (2)由(1)知M=3。由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3。 所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.(7分) 由绝对值的几何意义,得当且仅当-2≤x≤时,|x-|+|x+2|=3, 所以不等式|x-|+|x+2|≤M的解集为 {x|-2≤x≤}.(10分)
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