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2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)
2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)

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2018年高考数学(理科)模拟试卷(四)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分,考试时间120分钟）
第Ⅰ卷(选择题　满分60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．[2016·成都诊断考试］已知集合A＝｛x｜y＝}，B＝{x｜｜x｜≤2}，则A∪B＝（　　)
A．[－2,2] B．[－2，4] C．[0,2］ D．［0,4］
2．［2016·茂名市二模]“a＝1"是“复数z＝(a2－1）＋2(a＋1)i（a∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．[2017·呼和浩特调研］设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于（　　)
A. B．± C．± D。
4．[2016·洛阳第一次联考］如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f（x)＝sin（x∈R）的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．［2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)

A。
B。
C.
D。
6．［2016·贵阳一中质检］函数g（x）＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是（　　)
A．(－3,－1） B．（－1，1)
C．(1，2) D．(2，3)
7．［2016·浙江高考］在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则｜AB｜＝(　　)
A．2 B．4 C．3 D．6
8．[2017·广西质检］某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　)

A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π
9．［2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4,AC＝2，PB＝BC＝2，PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为(　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
10．［2016·四川高考]在平面内，定点A，B,C，D满足｜|＝|｜＝｜｜，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足｜|＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A. B。
C。 D.
11．［2016·山西质检]记Sn为正项等比数列｛an}的前n项和，若－7·－8＝0,且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是(　　)
A. B. C。 D.
12．［2016·海口调研]已知曲线f（x）＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1,x2是函数g(x)＝f（x）－|ln x｜的两个零点,则(　　）
A．1－4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________．
15．[2017·山西怀仁期末］已知双曲线C：－＝1（a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c，直线y＝（x＋c）与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________．
16．[2016·广州综合测试]已知函数f（x）＝
则函数g（x）＝2|x|f（x）－2的零点个数为________个．

三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2016·河南六市联考]（本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1。5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；
（2)求P到海防警戒线AC的距离．

18．［2016·重庆市一模](本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．
方案一：每满200元减50元;
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
(2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算?

19．［2016·贵州四校联考］(本小题满分12分)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起,使AC＝a,得到一个四面体A－BCD，如图所示．

(1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直?若能垂直,求出相应的a值；若不垂直,请说明理由．
(2)当四面体A－BCD体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．

20．［2016·全国卷Ⅲ］（本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点,交C的准线于P，Q两点．
(1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

21．［2016·湖北八校联考]（本小题满分12分)已知函数f(x）＝ax－ln x－4（a∈R)．
（1）讨论f(x）的单调性；
(2）当a＝2时,若存在区间[m,n］⊆，使f(x）在[m，n]上的值域是，求k的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[2016·陕西八校联考]（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的方程为x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ－sinθ）＝6。
(1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
(2)设P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的最大距离．

23．［2016·南昌一模](本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲
设函数f(x）＝＋的最大值为M.
（1)求实数M的值；
（2）求关于x的不等式｜x－｜＋｜x＋2｜≤M的解集．

参考答案（四）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．［2016·成都诊断考试]已知集合A＝｛x｜y＝}，B＝｛x｜|x｜≤2}，则A∪B＝（　　)
A．[－2，2］ B．［－2,4] C．[0，2] D．[0，4]
答案　B
解析　A＝｛x｜0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2｝,故A∪B＝{x｜－2≤x≤4｝，故选B。
2．［2016·茂名市二模］“a＝1"是“复数z＝(a2－1)＋2（a＋1)i（a∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　a2－1＋2（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，所以a＝1，反之也成立．故选A.
3．[2017·呼和浩特调研]设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A,B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于（　　)
A。 B．± C．± D。
答案　B
解析　由题意可得c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±.
4．［2016·洛阳第一次联考］如果圆x2＋y2＝n2至少覆盖曲线f(x）＝sin（x∈R）的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　最小范围内的至高点坐标为，原点到至高点距离为半径,即n2＝＋3⇒n＝2，故选B.
5．［2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)

A。
B.
C.
D.
答案　A
解析　由程序框图可知，输出的结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即，故选A.
6．[2016·贵阳一中质检］函数g(x)＝2ex＋x－3t2dt的零点所在的区间是(　　）
A．（－3，－1） B．（－1,1)
C．（1,2） D．（2，3）
答案　C
解析　因为3t2dt＝t3＝8－1＝7,∴g(x)＝2ex＋x－7，g′(x)＝2ex＋1〉0，g（x)在R上单调递增，g（－3）＝2e－3－10<0，g（－1）＝2e－1－8<0,g（1)＝2e－6〈0，g（2)＝2e2－5〉0，g(3）＝2e3－4〉0，故选C.
7．[2016·浙江高考]在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB,则|AB｜＝(　　)
A．2 B．4 C．3 D．6
答案　C

解析　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形，又C（2，－2),D(－1,1)，所以|AB|＝|CD｜＝＝3。故选C.
8．［2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π
答案　A
解析　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成,所以6个半球的表面(除去半球底面圆）的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6（22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋（24－6π）＝24＋6π.
9．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，PA＝4，AC＝2，PB＝BC＝2,PA⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为（　　)
A．2 B．2 C．4 D．4
答案　A

解析　PA⊥平面PBC,AC＝2,PA＝4，∴PC＝2，∴△PBC为等边三角形，设其外接圆半径为r，则r＝2，∴外接球半径为2。故选A.
10．［2016·四川高考］在平面内，定点A，B,C，D满足｜|＝|｜＝｜｜，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足|｜＝1,＝,则｜｜2的最大值是（　　)
A. B.
C. D。
答案　B
解析　由|｜＝||＝|｜知，D为△ABC的外心．由·＝·＝·知,D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形,易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以｜｜max＝|BE|＋＝，则||＝，选B.
11．[2016·山西质检］记Sn为正项等比数列｛an}的前n项和，若－7·－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a，则＋的最小值是(　　)
A. B。 C。 D。
答案　C
解析　∵{an｝是正项等比数列,设｛an}的公比为q（q>0）,∴＝q6,＝q3，∴q6－7q3－8＝0，解得q＝2，又a1ama2n＝2a，∴a·2m＋2n－2＝2（a124)3＝a213，∴m＋2n＝15，∴＋＝(m＋2n）＝≥＝，当且仅当＝，n＝2m，即m＝3，n＝6时等号成立，∴＋的最小值是，故选C.
12．[2016·海口调研］已知曲线f(x）＝ke－2x在点x＝0处的切线与直线x－y－1＝0垂直，若x1，x2是函数gx)＝f(x)－|ln x｜的两个零点，则(　　)
A．1〈x1x2< B.＋ln x1＝ln (x1x2）∈,于是有e关闭4号阀门，由(ⅲ）知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．
14．［2017·云南检测］若函数f（x)＝4sin5ax－4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________．
答案　±
解析　因为f（x）＝8sin,依题意有，＝，所以T＝，又因为T＝，所以＝，解得a＝±。
15．［2017·山西怀仁期末]已知双曲线C:－＝1(a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c）与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为________．
答案　＋1
解析　∵直线y＝（x＋c）过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2＝30°,∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝｜F1F2|＝c，｜PF1｜＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义得2a＝|PF1｜－｜PF2|＝c－c，∴双曲线C的离心率e＝＝＝＋1.
16．［2016·广州综合测试]已知函数f（x）＝
则函数g（x)＝2|x｜f（x)－2的零点个数为________个．
答案　2
解析　由g(x)＝2｜x｜f（x）－2＝0，得f(x）＝21－｜x|，画出y＝与y＝21－|x｜的图象，可知,它们有2个交点，所以零点个数为2.

三、解答题(共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．［2016·河南六市联考]（本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离,并求x的值；
（2)求P到海防警戒线AC的距离．
解　（1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12。（2分)
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝,
同理，在△PAC中,
AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.(4分）
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，
解得x＝31。(6分）
(2）作PD⊥AC于点D，在△ADP中，
由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，（9分）
∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．（12分）
18．[2016·重庆市一模］（本小题满分12分)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种．
方案一：每满200元减50元;
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算?
解　（1）记顾客获得半价优惠为事件A，则P(A)＝＝，（2分）
两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率P＝1－P（）P（)＝1－2＝.(4分)
（2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270元．(6分）
若选择方案二,记付款金额为X元,则X可取160，224,256，320。
P（X＝160)＝,
P(X＝224）＝＝,
P(X＝256)＝＝，
P（X＝320）＝＝，(9分)
则E（X)＝160×＋224×＋256×＋320×＝240.
∵270>240，
∴第二种方案比较划算．(12分）
19．[2016·贵州四校联考]（本小题满分12分)已知长方形ABCD中,AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．

(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD,AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值;若不垂直,请说明理由．
（2）当四面体A－BCD体积最大时,求二面角A－CD－B的余弦值．
解　（1)若AB⊥CD,因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，
所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC。
即AB2＋a2＝BC2⇒12＋a2＝()2⇒a＝1.(2分)
若AD⊥BC，因为AD⊥AB,AB∩BC＝B，
所以AD⊥面ABC⇒AD⊥AC，
即AD2＋a2＝CD2⇒（)2＋a2＝12⇒a2＝－1，无解，
故AD⊥BC不成立．(4分）
(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可,此时面ABD⊥面BCD。(6分)
过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD,
以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz（如图),

则易知A，C，D
显然，面BCD的法向量为＝。(8分）
设面ACD的法向量为n＝(x，y，z）．
因为＝,＝,
所以令y＝，
得n＝（1，,2)，(10分）
故二面角A－CD－B的余弦值即为
|cos〈，n>|＝＝.（12分）
20．［2016·全国卷Ⅲ］(本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2x 的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．
解　由题知F.设l1：y＝a,l2：y＝b，则ab≠0,
且A,B，PQ,
R，.
记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.（3分)
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0。
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝k2，
所以AR∥FQ.(5分)
(2)设l与x轴的交点为D（x1，0),则S△ABF＝｜b－a|·|FD|＝｜b－a|，S△PQF＝。
则题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y）．
当AB与x轴不垂直时,由kAB＝kDE可得＝(x≠1），而＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0），满足方程y2＝x－1.
所以,所求轨迹方程为y2＝x－1。（12分)
21．[2016·湖北八校联考］(本小题满分12分)已知函数f(x）＝ax－ln x－4（a∈R）．
（1）讨论f(x）的单调性；
(2）当a＝2时，若存在区间［m,n]⊆，使f（x)在[m,n]上的值域是，求k的取值范围．
解　（1)函数f(x）的定义域是（0，＋∞)，f′（x）＝，
当a≤0时，f′（x）≤0,所以f(x）在(0，＋∞)上为减函数，
当a>0时，令f′(x)＝0,则x＝，当x∈时，f′（x)〈0,f(x)为减函数,
当x∈时，f′(x)>0，f（x)为增函数，(3分)
∴当a≤0时，f（x）在(0，＋∞)上为减函数；当a〉0时,f(x)在上为减函数，在上为增函数．(4分）
(2）当a＝2时，f（x）＝2x－ln x－4，由（1）知：f(x）在上为增函数，而［m，n]⊆，
∴f（x）在［m，n］上为增函数，结合f（x）在[m,n］上的值域是知：f(m)＝,f(n）＝，其中≤m0，
∴F（x)在上为增函数，即φ′（x)在上为增函数，而φ′（1)＝0，
∴当x∈时，φ′(x）〈0，当x∈(1,＋∞）时，φ′（x)>0，
∴φ(x）在上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数，（10分）
而φ＝,φ（1）＝－4，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故结合图象得：
φ（1）〈k≤φ⇒－4轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ－sinθ）＝6.
（1)将曲线C1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）设P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的最大距离．
解　(1)由题意知,直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0.（2分）
∵曲线C2的直角坐标方程为：2＋2＝1，
即＋＝1，（4分)
∴曲线C2的参数方程为（θ为参数)．(5分）
（2）设点P的坐标(cosθ,2sinθ），则点P到直线l的距离为d＝＝，
∴当cos＝－1时，dmax＝＝2。（10分)
23．［2016·南昌一模］（本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x）＝＋的最大值为M.
（1)求实数M的值；
（2)求关于x的不等式｜x－|＋｜x＋2|≤M的解集．
解　(1）f（x)＝＋≤2＝3，
当且仅当x＝时等号成立．故函数f（x）的最大值M＝3。(5分）
（2)由(1)知M＝3。由绝对值三角不等式可得|x－|＋|x＋2|≥|（x－)－(x＋2)｜＝3。
所以不等式|x－|＋｜x＋2|≤3的解集就是方程|x－|＋｜x＋2|＝3的解．(7分）
由绝对值的几何意义,得当且仅当－2≤x≤时,｜x－|＋｜x＋2|＝3，
所以不等式｜x－|＋|x＋2｜≤M的解集为
{x|－2≤x≤｝．(10分)