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(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-1-(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)的全部内容。(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-1-第二章 平面向量2。1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量;2。通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1。向量的定义:_;2。向量的表示：（1）图形表示：（2)字母表示:3.向量的相关概念：（1）向量的长度（向量的模)：_记作：_（2)零向量：_,记作：_（3）单位向量：_（4)平行向量：_(5）共线向量：_（6)相等向量与相反向量:_思考:(1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？_（2）平行向量与共线向量的关系：_（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：_【典型例题】例 1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正:（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个;(3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4）向量和是共线向量，则和是方向相同的向量；ab/bcac（5)相等向量一定是共线向量；例 2。已知是正六边形的中心，在图中标出的向量中：OABCDEF(1）试找出与共线的向量；EF ODCBAFE(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-2-（2)确定与相等的向量；EF（3）与相等吗？OA BC【课堂练习】1。判断下列说法是否正确，若不正确请改正：(1)向量和是共线向量，则四点必在一直线上；AB CD ABCD、(2）单位向量都相等；（3)任意一向量与它的相反向量都不想等；（4)四边形是平行四边形当且仅当；ABCDABCD (5）共线向量,若起点不同，则终点一定不同;2。平面直角坐标系中,已知，则点构成的图形是_xOy|2OA A3.四边形中,ABCD则四边形的形状是_ABCD4。设，则与方向相同的单位向量是_0a a5。若分别是四边形的边的中点.EFMN、ABCDABBCCDDA、求证：/EFNM 6。已知飞机从甲地北偏东的方向飞行到达乙地,再从乙地按南偏东的方向飞行302000km30到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问：丁地在甲地的什么方2000km1000 2km向？丁地距甲地多远？【课堂小结】2。2.1 向量的加法【学习目标】1。掌握向量加法的定义；2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-3-3。掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；【自主学习】1.向量的和、向量的加法：已知向量和，_ab则向量叫做与的和,记作:_OB ab_叫做向量的加法注意:两个向量的和向量还是一个向量；2.向量加法的几何作法：(1）三角形法则的步骤：就是所做的OA ab（2)平行四边形法则的步骤：就是所做的OCab注意：向量加法的平行四边形法则,只适用于对两个不共线的向量相加,而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用。3。向量加法的运算律：（1)向量加法的交换律：_（2）向量加法的结合律：_abABOba(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-4-思考:如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这条向量的和是什nn么?_【例题讲解】例 1.如图，已知为正六边形的中心，作出下列向量：OABCDEF（1）（2）（3)OAOC BCEF OAFE 例 2.化简下列各式（1）(2）ABBCCDDAEA ABMBBOOM （3）(4）ABDFCDBCFA ()ABCDBCDBBC 例 3.在长江南岸某处，江水以的速度向东流，渡船的速度为,渡船要垂直12.5/km h25/km h地渡过长江，其航向应如何确定？【课堂练习】1.已知,求作：,a b ab（1）（2）FEDCBAObaba(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-5-2.已知是平行四边形的交点,下列结论正确的有_OABCD（1）（2)ABCBAC ABADAC（3)（4）ADCDBD 0AOCOOBOD 3.设点是内一点，若，则点为的_心；OABC0OAOBOC OABC4.对于任意的，不等式成立吗？请说明理由.,a b|ababab【课堂小结】2.2。2 向量的减法【学习目标】1。理解向量减法的概念;2。会做两个向量的差；3。会进行向量加、减得混合运算4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法则难点：三角形法则,向量加、减混合运算【自主学习】(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-6-1。向量的减法：与的差：若_，则向量叫做与的差,记为_abxab向量与的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；ab注意：向量的减法是向量加法的逆运算。2。向量的减法的作图方法：ab作法：_ _ _则BAab 3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 ()abab 4.关于向量减法需要注意一下几点：在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可。以向量为邻边作平行四边形，则两条对角线的向量为,ABa ADb ABCD,ACab，这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理解;BDba DBab 对于任意一点，,简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.OABOBOA 【例题讲解】例 1。已知向量,求作向量：；,a b c d ,ab cd 思考：如果，怎么做出？/abab例 2.已知是平行四边形的对角线的交点，若试证明：OABCD,ABa DAb OCc cd baacbOBACD(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-7-bcaOA 本题还可以考虑如下方法:1.（1)OAOCCAOCCBCD (2）caOCABOCDCODOAAD 2。任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和.例 3.化简下列各式（1）()ABBCBDAD （2）ABDABDBCCA （3）()()ABDCACBD 【课堂练习】1.在中，,下列等式成立的有_ABC90CACBC（1）|CACBCACB （2）|ABACBABC （3）|CABACBAB （4）222|CACBABACBACA 2.已知四边形的对角线与相交与点，且，ABCDACBDO,AOOC BOOD 求证：四边形是平行四边形。ABCD3.如图，是一个梯形，,分别是的中点，已知ABCD/,2ABCD ABCD,M N,DC AB试用表示和,ABa ADb ,a b BC MN(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-8-【课堂小结】2.2.3 向量的数乘（1)【学习目标】1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3。通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律;【自主学习】1.向量的数乘的定义：一般地，实数与向量的积是一个向量，记作：_；它的长度和方向规定如下：a（1)|aa（2)当时，_；0当时，_；0 当时，_；0 _叫做向量的数乘2。向量的线性运算定义:_统称为向量的线性运算；NMDCBA(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-9-3.向量的数乘的作图：已知作,aba当时，把按原来的方向变为原来的倍;0a当时，把按原来的相反方向变为原来的倍；0a4.向量的数乘满足的运算律：设为任意实数，为任意向量，则,a b（1)结合律_(2）分配律_注意:（1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点,而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小,又要考虑方向,因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。【典型例题】例 1.已知向量，求作：,a b（1)向量 2.5a（2）23ab例 2.计算（1）(5)4a（2）5()4()3ababa（3）2(263)3(342)abcabcba(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-10-注意：(1)向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。不同点：实数的数乘的结果(积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2)向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。例 3.已知是不共线的向量，试用表示,OA OB ,()APtAB tR ,OA OB OP 例 4.已知：中，为的中点，为的中点，相交于点,ABCDBC,E F,AC BA,AD BE CFO求证：（1）1()2ADABAC（2）0ADBECF （3）0OAOBOC BPAOOFEDCBA(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-11-【课堂练习】1。计算：（1）3(53)2(6)abab（2）4(35)2(368)abcabc2。已知向量且求,a b 3()2(2)4()0,xaxaxabx3。在平行四边形中,为的中点，用来表示ABCD,3,ABa ADb ANNC M BC,a b MN 4。如图,在中,为边的中线，为的重心,求向量ABC,ABa BCb AD BCGABCAG【课堂小结】baGDCBA(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-12-2.2.3 向量的数乘（2）【学习目标】1。理解并掌握向量的共线定理;2。能运用向量共线定理证明简单的几何问题;3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理;难点：向量的共线定理；【自主学习】1。向量的线性表示：若果,则称向量可以用非零向量线性表示；,(0)ba a ba2。向量共线定理:思考：向量共线定理中有这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？0a【典型例题】例 1。如图,分别是的边的中点，,D EABC,AB AC（1）将用线性表示；DEBC（2）求证:与共线；BC DEEDCBA(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-13-例 2。设是两个不共线的向量，已知,若12,e e 1212122,3,2ABeke CBee CDee 三点共线，求的值。,A B Dk变式：设是两个不共线的向量,已知12,e e ,求证：三点共线.12121228,3,2ABee CBee CDee ,A B D例 3。如图，中,为直线上一点，OABCAB,(1),ACBC 求证：1OAOBOC 思考：（1)当时，你能得到什么结论？1（2）上面所证的结论：表明：起点为，终点为直线上一点的向量1OAOBOC OABCOC可以用表示，那么两个不共线的向量可以表示平面上任意一个向量吗?,OA OB ,OA OB (直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-14-例 4.已知向量其中不共线,向量，是否存在实数121223,23,aee bee 12,e e 1229cee，使得与共线,dab c例 5.平面直角坐标系中，已知若点满足其中(3,1),(1,3),AB C,OCOAOB ,R 三点共线，求的值；,A B C【课堂练习】1.已知向量求证：为共线向量；122122,3(),aee bee ,a b 2。设是两个不共线的向量,若是共线向量，求的值。12,e e 12122,aee bkee ,a b k3。求证:起点相同的三个非零向量的终点在同一直线上.,32a bab【课堂小结】(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-15-231 平面向量基本原理【学习目标】1了解平面向量的基本定理及其意义;2掌握三点(或三点以上)的共线的证明方法：3提高学生分析问题、解决问题的能力。【预习指导】1、平面向量的基本定理如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有1e2ea一对实数,使=+12a11e22e2.、基底：平面向量的基本定理中的不共线的向量,，称为这一平面内所有向量的一组基底。1e2e思考：（1）向量作为基底必须具备什么条件？（2）一个平面的基底唯一吗？答：（1)_ （2）_3、向量的分解、向量的正交分解：一个平面向量用一组基底,表示成=+的形式，我们称它为向量的分解，当，1e2ea11e22e1e(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-16-互相垂直时，就称为向量的正交分解.2e4、点共线的证明方法：_ 【典例选讲】例 1：如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M,=,=试用 ，ABaADbab表示，和。MCMAMBMD D C M b A B a例 2：设，是平面的一组基底，如果 =3-2，=4+，=8 1e2eAB1e2eBC1e2eCD1e9，求证:A、B、D 三点共线.2e例 3：如图,在平行四边形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM=AB,点 N 在 BC 上，且 BN=21BC，用向量法证明:M、N、D 三点共线。31 D C(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-17-N A B M【课堂练习】1、若，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的1e2e（）A、-2 和+21e2e1e2eB、与 31e2eC、2+3和 461e2e1e2eD、+与1e2e1e2、若，是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（）1e2eA、若实数，使+=0，则=01211e22e12B、空间任意向量都可以表示为=+，Ra11e22e12C、+,R 不一定表示平面内一个向量11e22e12D、对于这一平面内的任一向量，使=+的实数对，有无数对aa11e22e123、三角形 ABC 中，若 D，E，F 依次是 四等分点，则以 =，=为基底时,用ABCB1eCA2e，表示1e2eCF B F (直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-18-E D A C4、若=+3，=4 +2 ，=-3+12，写出用+的形式表a1e2eb1e2ec1e2e1b2c示a【课堂小结】232 向量的坐标表示(1）【学习目标】1、能正确的用坐标来表示向量；2、能区分向量的坐标与点的坐标的不同；3、掌握平面向量的直角坐标运算；4、提高分析问题的能力。【预习指导】(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-19-1、一般地,对于向量 ,当它的起点移至_时,其终点的坐标称为向量 的（直角)a),(yxa坐标，记作_。2、有 向 线 段 AB 的 端 点 坐 标 为，则 向 量 的 坐 标 为),(,),(2211yxByxAAB_。3、若=，a),(11yx)22,(yxb+=_。ab_.ba【典型例题选讲】例 1：如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，求向量 的060,34xOAOAOA坐标。例 2：已知 A（-1，3)，B（1，-3）,C(4，1)，D(3，4），求向量 CDAOOBOA,的坐标.例 3：平面上三点 A（-2,1），B(1，3)，C（3，4),求 D 点坐标，使 A，B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-20-例 4：已知 P1（)，P2（)，P 是直线 P1P2上一点,且，求 P 的11,yx22,yx)1(21PPPP坐标。【课堂练习】1、与向量 平行的单位向量为_)5,12(a2、若 O（0,0），B(1，3)且=3,则 坐标是：_/OBOB/B3、已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限，=2,求向量 的坐标。OA0150 xOAOA4、已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上,点 C 在第一象限，D 为 AC的中点，分别求 的坐标。BDBCACAB,【课堂小结】232 向量的坐标表示（2）【学习目标】(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-21-1、进一步掌握向量的坐标表示;2、理解向量平行坐标表示的推导过程；3、提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。【预习指导】1、向量平行的线性表示是_2、向量平行的坐标表示是：设，如果，那么),(11yxa)0)(,(22ayxbab_,反之也成立。3、已知 A，B,C，O 四点满足条件：，当，则能得到OCOBOA1_【典型例题选讲】例 1：已知（，,并且,求证：。A)0,1)1,3(B)2,1(CBCBFACAE31,31EFAB例 2:已知，当实数为何值时,向量与平行?并确定此时它们是同)1,2(,)0,1(bakbakba3向还是反向。例 3：已知点 O,A,B，C，的坐标分别为（0，0），(3，4）,（1，2），(1，1)，是否存在常数，成立？解释你所得结论的几何意义。tOCOBtOA(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-22-【课堂练习】1.已知且，求实数的值。),6(),3,2(ybaaby2.已知，平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1),B（1,3)，C(3，4）,求第四个顶点的 D 坐标.3.已知 A（0，2）,B(2，2)，C(3,4),求证：A,B，C 三点共线。4.已知向量，求与向量同方向的单位向量。)4,3(aa5.若两个向量方向相同,求。)4,(,),1(xbxaba2(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-23-【课堂小结】241 向量的数量积（1）【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义2.掌握数量积的运算法则3.了解平面向量数量积与投影的关系【预习指导】1。已知两个非零向量与，它们的夹角为，则把数量_叫做向量与abab的数量积（或内积)。规定：零向量与任何一向量的数量积为_2.已知两个非零向量与，作,，则_叫做向量与的abaOA bOB ab夹角.当时，与_，当时,与_；当时，则称与00ab0180ab090ab_。3.对于,其中_叫做在方向上的投影。cosbababa4.平面向量数量积的性质 若与是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：abebab;cosaaeea ；baba0(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-24-；baba 若与同向,则；若与反向,则；abbabaabbaba或2aaaaaa 设是与的夹角，则。abbabacos5。数量积的运算律交换律：_数乘结合律：_分配律：_注：、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。、数量积得运算只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律.即 不一定等于，也不适合消去律。cba)()(cba【典型例题选讲】例 1：已知向量 与向量 的夹角为，=2，=3，分别在下列条件下求:ababab（1）=135 ；（2)；（3）0abba 例 2：已知=4，=8，且与的夹角为 120 。abab0计算：（1)；)2()2(baba(2）。ba2(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-25-例 3:已知=4，=6,与的夹角为 60 ，abab0求：（1）、（2）、（3）、aba)(ba)3()2(baba例 4:已知向量 ，=1，对任意 t R，恒有 ，则（）aeee ta ea A、B、（aeaa)eC、（D、(ea)e)()eaea【课堂练习】1、已知=10,=12，且，则与的夹角为_ab36)51()3(baab2、已知、是三个非零向量，试判断下列结论是否正确:abc（1）、若，则 （）babaab(2）、若,则 （）cbcaba（3）、若，则 （）bababa 3、已知，则_0)()23(,3,2,0babababa4、四边形 ABCD 满足 A=D，则四边形 ABCD 是（）BC(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-26-A、平行四边形 B、矩形C、菱形 D、正方形5、正 边长为 a ，则_ABCABCACABCACAB【课堂小结】241 向量的数量积（2）【学习目标】1、能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式；2、理解并掌握两个向量垂直的条件。【预习指导】1、若 则_),(),(2211yxbyxaba2、向量的模长公式：设则=cos=_),(yxa 2aa a22yxaaa3、两点间距离公式设 A（B 则_),11yx),(22yxBAyyxxBA,),(12124、向量的夹角公式：(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-27-设=(，,与的夹角为，则有_a),11yx),(22yxb abbabacos5、两个向量垂直：设=（，a),11yx),(22yxb 0,0ba _ ba注意:对零向量只定义了平行，而不定义垂直.【典例选讲】例 1：已知=(2，求.a)1)2,3(b)2()3(baba例 2：在中，设 且为直角三角形，求的值。ABC),1(),3,2(kCABAABCk例 3：设向量,其中=（1,0），=（0，1)212134,eebeea1e2e（1）、试计算及的值。baba(2）、求向量与的夹角大小。ab【课堂练习】1、已知，求：)2,1(),2,2(ba).23()(baba(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-28-2、已知向量，若与垂直,则实数=_)3,2(),1,1(babak2ak3、已知若与平行，则_)1,(),2,1(xbaba2ba 2x4、已知 A、B、C 是平面上的三个点，其坐标分别为。那么)1,0(),1,4(),2,1(CBAACAB=_,_ ,的形状为_ACBABC5、已知，且 与的夹角为钝角，求实数的取值范围.)2,12(),3,2(mmbmmaabm【课堂小结】第一章 三角恒等变换3。1.1 两角和与差的余弦公式【学习目标】1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题;2、应用公C式，求三角函数值。)(3、培养探索和创新的能力和意见。【学习重点难点】向量法推导两角和与差的余弦公式【学习过程】（一）预习指导(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-29-探究 cos(+）cos+cos反例：cos =cos(+)cos +cos 问题：cos(+）,cos，cos的关系（二）基本概念1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2.探究：在坐标系中、角构造+角3。探究:作单位圆，构造全等三角形探究：写出 4 个点的坐标P1(1，0)，P(cos，sin）P3(cos（+)，sin(+)）,P4(cos(-),sin(-)）,5.计算，31pP42pp=31pP=42pp6。探究：由=导出公式31pP42ppcos（+)-12+sin2（+）=cos（-）cos2+sin(-）sin2展开并整理得 所以 可记为C)(7.探究：特征熟悉公式的结构和特点；此公式对任意、都适用公式记号C)(23636(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-30-8.探究：cos（+)的公式以-代得:公式记号C)(三)典型例题选讲:例 1 不查表，求下列各式的值.(1)cos105（2）cos15(3)cos(4)cos80cos20+sin80sin20（5)cos215sin215 （6)cos80cos35+cos10cos55例 2 已知 sin=，cos=，是第三象限角,求 cos（-）的值.103sin5sin103cos554,2135(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-31-例 3：已知 cos（2-）=-，sin(2)=，且 ，求 cos(+）的值.例 4：cos(-）=-，sin()=，且 ，0 ，求 cos 的值。【课堂练习】1。求 cos75的值2.计算:cos65cos115-cos25sin115141173440,24291232222(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-32-3.计算：-cos70cos20+sin110sin204。sinsin=-，coscos=，（0,）,（0,)，求 cos（）的值.5.已知锐角,满足 cos=，cos（-）=，求 cos.6.已知 cos（)=，求（sin+sin)2+(cos+cos）2的值.【课堂小结】21212225313531(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-33-3。1。2 两角和与差的正弦公式【学习目标】1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。2、通过公式的推导，了解它们的内在联系,培养逻辑推理能力.并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。3、掌握诱导公式sin =cos,sin =cos,sin =-cos,sin =-cos，【学习重点难点】（一)预习指导：两角和与差的余弦公式：（二)基本概念：基本概念：1.两角和的正弦公式的推导sin（+）=sin()=sincos-sincos（二）、典型例题选讲:例求值 sin(+60）+2sin(60)cos(120-）3222323(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-34-例：已知 sin（2+)=3sin,tan=1,求 tan(-)的值。例:已知 sin(+)=,sin(）=求 的值。例:（）已知 sin（-)=，sin（+)=,求 tan:tan)的值.【课堂练习】.在ABC 中，已知 cosA=,cosB=，则 cosC 的值为 2。已知 ，0，cos（+）=-，sin（+)=，求 sin(+）的值。3.已知 sin+sin=，求 cos+cos的范围。3252tantan312131544434534313522(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-35-4。已知 sin(+）=，sin(-）=,求 的值.5。已知 sin+sin=cos+cos=求 cos()6。化简cossin26解：我们得到一组有用的公式:（1）sinsin=sin =cos .22(3）sincos=2sin =2cos 3（4）sin+bcos=sin（+）=cos（)22ba 22ba 7。化解cos3sin8.求证：cos+sin=cos（-）221101tantan535444334(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-36-9。求证：cos+sin=2sin（）.310.已知 ，求函数=cos（)cos 的值域。11.求 的值.【课堂小结】62,01212520cos20sin10cos2(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-37-3。1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。3。能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。【学习重点难点】能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习过程】(一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(+）=cos（)=sin(+）=sin(-）=2。新知tan(+)的公式的推导(+）0tan（+）注意：1必须在定义域范围内使用上述公式 tan，tan,tan(+）只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能用诱导公式.2注意公式的结构,尤其是符号.（二）典型例题选讲：例 1：已知 tan=，tan=-2 求 tan(+)，tan（-）,+的值，其中 090，9018031(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-38-例 2：求下列各式的值：（1）(2）tan17+tan28+tan17tan28（3）tan20tan30+tan30tan40+tan40tan20例 3：已知 sin(2+)+2sin=0 求证 tan=3tan（+）例 4：已知 tan和 tan(-)是方程2+p+q=0 的两个根，证明：pq+1=0.例 5:已知 tan=（1+m),tan()(tantan+m)，又，都是钝角，求+的值。3375tan175tan14(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-39-【课堂练习】1.若 tantan=tan+tab+1，则 cos（+）的值为 。AAA2.在ABC 中，若 0tanAtabB1 则ABC 一定是 。3。在ABC 中,tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanAtanC,则B 等于 。34。=。5.已知 sin(+)=，sin（)=，求 的值。【课堂小结】40tan20tan120tan40tan20tan2131)tan(tantantan)tan(2(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-40-3。2。1 二倍角的三角函数(1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.【学习过程】（一)预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(+）=(S）cos（+)=（C)tan(+）=(T)（,+，)(二）基本概念2。二倍角公式的推导在公式（S），（C），（T）中，当=时，得到相应的一组公式：sin2=(S）2cos2=（C）2tan2=(T）2注意：1在（T)中 2 +,+(）22在因为 sin2+cos2=1，所以公式（C）可以变形为2cos2=或 cos2=（C）2公式（S），（C)，（C），(T）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式.2222(二）典型例题选讲:一、倍角公式的简单运用222(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-41-例 1 不查表，求下列各式的值(1）()（2)(3）(4）1+22coscos2例 2 求 tan=3，求 sin2-cos2的值例 3 已知 sin （0 )，求 cos2,cos（+）的值。二、sin，cos，sincos，sincos之间的关系例 4 已知 sin+cos=，求 cos，coscos,sin2，cos2，sin,cos的值。125cos125sin)125cos125(sin2sin2cos44tan11tan11135)4(445143,2(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-42-三、倍角公式的进一步运用例 5 求证：例 6 求 的值。【课堂练习】1.若 270360，则 等于 2。求值：(1)sin2230cos2230=(2）2 =(3)=（4）=3。求值(1）cos20cos40cos60cos80（2）sin10sin30sin50sin704。已知 sin ，,求 sin2,cos2,tan2的值。5。已知 cos ，sin ，且 ，0 ，AAAA2sin2112cossincos28894cos92cos9cos2cos2121212118cos28cos8sin2212cos24cos48cos48sin8135,291232222(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-43-求 cos(+）的值。6.已知 sin2=，求 sin4,cos4，tan4的值.7。已知 tan2=，求 tan的值。【课堂小结】4,135231(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-44-3.2.1 二倍角的三角函数（2）【学习目标】1。熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角-降次，降角升次）2.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形：，这两个形式今后常用要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力【学习重点难点】重点：理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【学习过程】（一）预习指导1.有关公式：（1）=；（2)=；（3）=；（二）典型例题选讲:例 1 化简：8cos228sin12例2 求证：sin（1+sin）+cos（1+cos）sin(1sin)+cos（1cos)=sin222cos1cos222cos1sin22sin22cos22tan2(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-45-例 3 求函数的值域。sincoscos2例 4 求证：的值是与无关的定值。cossin2例 5 化简:例 6 求证:)6(sin)3cos(2sincos1sincos1sincos1sincos1ii2tan14cos4sin1tan24cos4sin1(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-46-例 7 利用三角公式化简：sin50(1+）10tan3【课堂练习】1.若 ，则等于 .sin1sin12.的值等于 .4cos2sin223.sin6cos24sin78cos48的值为 .4。的值等于 。5。已知 ，则 的值等于 。6。已知 （0 ）的值等于 。7.求值 tan70cos10(tan20-1）。3252794cos93cos92cos9cos215sin)4(2sin135)4sin(4(直打版)人教版-高一数学必修 4 全套导学案(word 版可编辑修改)-47-8.求 的值。9。已知 ，求 sin4的值.【课堂小结】10cos310sin161)4sin()4sin(),2(