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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点题库（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点题库 单选题 1、足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022 年卡塔尔世界杯是第 22 届世界杯足球赛比赛于 2022 年 11 月 21 日至 12 月 18 日在卡塔尔境内 7 座城市中的 12 座球场举行已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足=2dm，二面角 的大小为23，则该足球的体积为（）A74227dm3B35227dm3C1427dm3D32227dm3 答案：A 分析：画出图形，为线段的中点，则可得为二面角 的平面角，取,分别是线段,上靠近点的三等分点，则可得,分别为 和 的外心，过,分别作平面和平面的垂线,，交于点，则点为三棱锥 外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，然后结已知数据求出，从而可求出足球的体积 根据题意，三棱锥 如图所示，图中点为线段的中点，,分别是线段,上靠近点的三等分点，因为=2dm，所以 和 均为等边三角形，因为点为线段的中点，所以 ,，所以为二面角 的平面角，所以=23，因为 和 均为等边三角形，点为线段的中点，所以,分别为 和 的中线，因为,分别是线段,上靠近点的三等分点，所以,分别为 和 的外心，过,分别作平面和平面的垂线,，交于点，则点为三棱锥 外接球的球心，即为足球的球心，所以线段为球的半径，因为 ,，=2dm，所以=62dm，则=66dm，因为=,=,=90，所以 ，所以=12=3，在直角 中，=tan3=22，因为 平面，平面，所以 ，因为是 的外心，所以=63，所以=2+2=76,所以=43 3=43(76)3=74227，所以足球的体积为74227dm，故选：A 小提示：关键点点睛：此题考查三棱锥外接球问题，考查计算能力，解题的关键是由题意求出三棱锥外接球的球心，从而可确定出球的半径，然后计算出半径即可，考查空间想象能力，属于较难题 2、在长方体 1111中，=4，=3，1=5，点P在长方体的面上运动，且满足=5，则P的轨迹长度为（）A12B8C6D4 答案：C 分析：由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度.如图，在左侧面的轨迹为弧1，在后侧面的轨迹为弧，在右侧面的轨迹为弧，在前侧面内的轨迹为弧1.易知|=14 4 2=2，|=14 3 2=32，又sin1=cos=35，cos1=sin=35，1+1=2，则|1|+|1|=14 5 2=52，P的轨迹长度为 6，故选：C.3、在下列判断两个平面与平行的 4 个命题中，真命题的个数是（）、都垂直于平面r，那么 、都平行于平面r，那么 、都垂直于直线l，那么 如果l、m是两条异面直线，且 ，那么 A0B1C2D3 答案：D 分析：在正方体中观察可判断；由平面平行的传递性可判断；由线面垂直的性质可判断；根据面面平行判定定理可判断.如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故错误；由平面平行的传递性可知正确；由线面垂直的性质可知正确；过直线l做平面与、分别交于1,2，过直线m做平面与、分别交于1,2，因为 ，所以 1,2，所以1 2 因为1，2，所以1 同理，1 又l、m是两条异面直线，所以1,2相交，且1，1 所以 ，故正确.故选：D 4、在 中，=1，=2，=60，是 的外接圆上的一点，若=+，则+的最小值是（）A1B12C13D16 答案：B 分析：先解三角形得到 为直角三角形，建立直角坐标系，通过=+表示出+，借助三角函数求出最小值.由余弦定理得2=2+2 2 cos=1+4 2 1 2 cos60=3，所以=3，所以2+2=2，所以 以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（1，0），C（1，0），B（12，32），设P的坐标为(cos,sin)，所以=(12,32)，=(2,0)，=(cos+1,sin)，又=+，所以(cos+1,sin)=(12,32)+(2,0)=(2+2,32)，所以=233sin，=cos2+1236sin，所以+=233sin+cos2+1236sin=32sin+cos2+12=sin(+6)+12 1+12=12，当且仅当sin(+6)=1时，等号成立 故选：B 5、已知圆锥的底面半径为，高为3，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A22B942C832D2 答案：B 分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，=33，所以，=3 3，即圆柱的全面积为 =22+2=22+2(3 3)=2(22+3)=22(34)2+982 942，当且仅当=34时取等号 故选：B 6、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A23B24C26D27 答案：D 分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，因为=3,=120，所以=332,=32，因为重叠后的底面为正方形，所以=33,在直棱柱 中，平面BHC，则 ,由 =可得 平面，设重叠后的EG与交点为,则=13 33 33 32=272,=12 33 32 33=814 则该几何体的体积为=2=2 814272=27.故选：D.7、下列命题：有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（）A0B1C2D3 答案：A 分析：均可举出反例.如图 1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故错误；如图 2，满足两侧面11与底面垂直，但不是直棱柱，错误；如图 3，四边形11为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，错误；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，错误 故选：A 8、下列条件中，能得出直线与平面平行的是（）A直线与平面内的所有直线平行 B直线与平面内的无数条直线平行 C直线与平面没有公共点 D直线与平面内的一条直线平行 答案：C 分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对 A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故 A 错误；对 B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；对 C，能推出与平行；对 D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.9、下列说法正确的有（）两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；经过球面上不同的两点只能作一个大圆；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；圆锥的轴截面是等腰三角形.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：A 解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以不正确；中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以不正确；中底面不一定是正方形，所以不正确；中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以是正确的.故选：A 10、如图所示，在直三棱柱 111中，1=1，=3，cos=13，P是1上的一动点，则+1的最小值为（）A5B7C1+3D3 答案：B 分析：连接1，以1所在直线为轴，将 11所在平面旋转到平面11，设点1的新位置为，连接，判断出当、三点共线时，则即为+1的最小值.分别求出1=120,1=1,1=2,利用余弦定理即可求解.连接1，得 11，以1所在直线为轴，将 11所在平面旋转到平面11，设点1的新位置为，连接，则有+1.当、三点共线时，则即为+1的最小值.在三角形ABC中，=3，cos=13，由余弦定理得：=2+2 2 cos=3+3 2 3 13=2,所以11=2，即1=2 在三角形1中，1=1，=3，由勾股定理可得：1=12+2=1+3=2,且1=60.同理可求：1=2 因为1=1=11=2，所以 11为等边三角形，所以11=60，所以在三角形1中，1=1+1=120,1=1,1=2,由余弦定理得：=1+4 2 1 2 (12)=7.故选 B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.填空题 11、达芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图 1），把三片这样的达芬奇方砖形成图 2 的组合，这个组合表达了图 3 所示的几何体.若图 3 中每个正方体的边长为 1，则点到直线的距离是_.答案：2 分析：根据题意，求得 的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可.根据题意，延长,交于点，连接,，如下所示：在 中，容易知：=2+2=12+(2)2=3；同理=12+(5)2=6，=2+2=22+(5)2=3，满足2+2=2，设点到直线的距离为，由等面积法可知：=，解得=363=2，即点到直线的距离是2.所以答案是：2.12、三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为_个 答案：1 或 3 分析：讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数.当三条平行线不共面时，如下图示可确定 3 个平面；当三条平行线共面时，如下图示确定 1 个平面.所以答案是：1 或 3 13、已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的 4 倍，则它的侧面积扩大为原来的_倍.答案：2 分析：求出底面半径扩大为原来的 2 倍，从而得到侧面积扩大为原来的 2 倍.设圆柱的高为，底面半径为，则体积为2，体积扩大为原来的 4 倍，则扩大后的体积为42，因为高不变，故体积42=(2)2，即底面半径扩大为原来的 2 倍，原来侧面积为2，扩大后的圆柱侧面积为2 2=4，故侧面积扩大为原来的 2 倍.所以答案是：2 14、在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件_时，A1P/平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)答案：P是CC1中点 分析：根据线面平行的性质，只需在侧面BCC1B1上找到一点，A1P/平面BCD上的任一条线即可，可以取A1P/CD，此时P是CC1中点.取CC1中点P，连结A1P，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件P是CC1中点时，A1P/CD，A1P 平面BCD，CD 平面BCD，当点P满足条件P是CC1中点时，A1P/平面BCD 所以答案是：P是CC1中点.15、如图所示，有边长为 2 的正方体 1111，为正方体表面的一个动点若三棱锥 的体积为12，则|1|的取值范围是_ 答案：54,3174 分析：根据三棱锥 的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可得出答案.设点到平面的距离为，则=13 =23=12，所以=34，如图在1上取点，使得=34，过点作平面 平面，,分别在1,1,1上，故点在四边形的边上，则当点在点的位置时，|1|最小，为54，当点在点的位置时，|1|最大，为4+4+2516=3174，所以|1|的取值范围是54,3174.所以答案是：54,3174.解答题 16、如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，ABCD，ADC90，DEDA，M为AE的中点.（1）求证：AC 平面DMF；（2）求证：BEDM.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据矩形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可.（1）如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.又因为M为EA的中点，所以MNAC.又因为AC 平面DMF，且MN 平面DMF.所以AC 平面DMF.（2）因为矩形CDEF，所以CDDE.又因为ADC90，所以CDAD.因为DEADD，DE，AD 平面ADE，所以CD平面ADE.又因为DM 平面ADE，所以CDDM.又因为ABCD，所以ABDM.因为ADDE，M为AE的中点，所以AEDM.又因为ABAEA，AB，AE 平面ABE，所以MD平面ABE.因为BE 平面ABE，所以BEMD.17、如图：ABCD是正方形，O为正方形的中心，底面ABCD，点E是PC的中点.求证：(1)/平面BDE；(2)平面 平面BDE.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析 分析：（1）连接OE，则由三角形中位线定理可得OE/PA，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得BDAC，BDPO，由线面垂直的判定定理可证得BD面PAC，再由面面垂直的判定定理可证得结论（1）证明：连接OE，ABCD为正方形，O为AC中点，又E为PC中点，OE/PA，OE面BDE，PA面BDE，PA/面BDE，（2）证明：ABCD为正方形，BDAC，又PO面ABCD，BD面ABCD，BDPO，POAC=O，PO面PAC，AC面PAC，BD面PAC，BD面BDE，面BDE面PAC，18、如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M，N分别为AC，PD的中点 （1）求证：MN 平面ABP；（2）若BPPC，求证：平面ABP平面APC 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即连结，证明/；（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化，证明 平面.证明：（1）连结BD，由已知，M为AC和BD的中点，又N为PD的中点，MNBP MN 平面ABP，BP 平面ABP，MN 平面ABP（2）ABBP，ABBC，BPBCB，AB平面BPC PC 平面BPC，ABPC BPPC，ABBPB，PC平面ABP PC 平面APC，平面ABP平面APC 19、用符号表示下列语句，并画出图形.（1）平面 与 相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B；（2）点A，B在平面 内，直线a与平面 交于点C，点C不在直线AB上.答案：（1）l，aA，aB；图象见解析；（2）A，B，aC，CAB；图象见解析 分析：由题意将自然语言转化为符号语言,根据点线面的关系,借用集合符号,表示即可.（1）用符号表示：,，如图.（2）用符号表示：,，如图.小提示：本题主要考查点、线、面的关系的符号表达,属于基础题.