高中数学理科函数的概念与性质测试题.doc

函数的概念与性质测试题
一、选择题
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
x
y
O
A
1．如图所示，可表示函数的图象的只可能是( ).

1．D 提示：根据函数的定义，任意一个只能有惟一的值和它对应，故A、B、C都不是函数图象，所以选D.
2．已知，则(x)的解析式为( ).
A． B． C． D．
2．C 提示：设，则，
代入到式子中得，∴，故选C.
3．已知函数的定义域为(a,b)且，则的定义域为( ).
A．() B．()
C．() D．()
3．B 提示：∵函数的定义域为(a,b)，
∴ . 故选B.
4．已知函数，那么( ).
A．当或时，函数单调递减
B．当时，函数单调递增
C．当时，函数单调递减
D．当时，函数单调递增
4．A 提示：，所以该函数由向右平移一个单位再向上平移一个单位得到，故在()或()上都为减函数．
5．定义运算 若，则f (2)的值为( ).
A．4 B．0 C．1 D．8
5．C 提示：=1。故选C.
6．已知则下列函数的图象错误的是( ).

A．的图象 B．的图象 C．的图象 D．的图象
6．D 提示：，=，所以的图象与的图象是一样的，故D不正确．
7．在直角坐标系中，函数(>0为常数)所表示的曲线叫箕舌线，则箕舌线可能是下列图形中的( ).

7． A 提示：通过对所给函数分析，其具有的性质有：①函数是偶函数，②函数先单调递增后单调递减，③当时，，所以选A.
8．偶函数满足：对于()，有，且在区间[0,3]与上分别单调递减和单调递增，则不等式的解集为( ).
A． B．
C． D．
8．
D 提示：由草图得的解集为，
所以，原不等式的解集为.
9．设A={}，B={}，函数满足B是值域，则这样的函数有( ).
A．16个 B．15个 C．14个 D．8个
9．C 提示：A={}，所以的映射共有个，但由于B是值域，不能将1，2，3，4都对应到，也不能都对应到，故共有个映射。故选C。
11．定义在R上的函数满足，当>2时，单调递增，如果，且，则的值为( ).
A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负
11．A 提示：由，知中有一个小于2，一个大于2，即不妨设，又知以(2,0)为对称中心，且当时，单调递增，所以，，所以，故选A.
12．已知是定义在R上的函数，对任意的都有成立．若函数的图象关于直线对称，，则等于( ).
A．2009 B．2 C．1 D．4
12．B 提示：∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，即为偶函数；令，则，∴，又是偶函数，∴，∴，故的周期为4，
∴，故选B．
备用题
4．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ).
A． B． C． D．
4．D 画出的图象可知.
5．已知，奇函数在[]上单调递减且，那么在[]上，( ).
A．单调递增且>0 B．单调递减且<0
C．单调递增且<0 D．单调递减且>0
5．C 设，则，，，∴，即<0，单调性可用定义证明.
二、填空题
13．对于定义在R上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若函数没有不动点，则实数a的取值范围是_______.
13． 提示：由得，由得。
14．设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=_________.
14．0 提示：∵为R上的奇函数，∴且=0，
又的图象关于直线对称，∴，
∴，，
，，
，，
又，∴原式=0.
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____________；函数的定义域为_______________．
15．； 提示：由得，所以函数的定义域为；又由得，所以函数的定义域为.
16．设{}表示离最近的整数，即若()，则{}=.给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R，值域是[0,]；
②函数的图象关于直线()对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；

④函数是偶函数．其中真命题是__________. (把所有正确命题的序号都填在横线上)
16．①②③④ 提示：这是一个定义新概念题目，要很快理解这个数，才能画出函数的图象，如图所示，函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性易见．
三、解答题
17．已知定义在R上，满足，且时，.
(1)求时，的解析式；
(2)是否存在这样正数a、b，当时，，且的值域为，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.
17．解：(1)由知函数是奇函数，根据已知条件得()；
(2) ∵，而时，且的值域为，∴.
又∵，∴，在[a,b]上是减函数，
∴，
解得，.
18．是定义在上的增函数，且.
(1)求f(1)的值；(2)若f(6)＝1，解不等式.
18．解：(1)令，得f(1)=0.
(2)由定义域知得．
由f(6)＝1，及函数的定义式，得，
即，即.
∵在上是增函数，根据复合函数的单调性知．
解得．
综合，得0
19．设二次函数(且)满足条件：①当时，且；②时，；③在R上的最小值为0；求最大的m(m>1)，使得存在，只要[1,m]就有成立．
19．解：由得对称轴方程为，
又由③知，当时，再由，令得：
=1，因此，∴，

由于的图象是由的图象向左(或向右)平移个单位而产生的，欲使存在在时，有，则必须向右移(如图所示)，且1和m分别是方程的两根.
即的两根分别为1和m，得，m=9．
20．已知函数，．
(1)若，使成立，求实数的取值范围；
(2)设，且在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
20．解：(1)若，使成立，使成立或>4；
(2)，，
(I)当≤0，即时，；
(II)当>0，即或时，设方程的两根为().
若，则，∴.
∴；
若，则，∴，.
∴.
综上所述：或.

21．已知函数(a∈R,且x≠a).
(1)证明：f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立；
(2)当f(x)的定义域为时，求证：f(x)的值域为[-3,-2]；
(3)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|，求g(x)的最小值.
21．解：(1)利用恒等变形解题，
∵

∴结论成立.
(2)
当时，有
所以.所以可以得到f(x)的值域为[-3,-2].
(3) 函数g(x)=x2+|x+1-a|(x≠a)，
①当x≥a-1(x≠a)，.
如果a-1≥-,即a≥时,则函数在和上单调递增，
∴.
如果a-1<-,即当a<且a≠-时,.
当a= -时, g(x)的最小值不存在.
②当x≤a-1时，.
如果a-1>,即a>时,,
如果a-1≤,即当a≤时, g(x)在上为减函数，

当a>时,；
当a<时, ；
综上，就可得出如下结论：
当a<且a≠时, g(x)的最小值是；当≤a≤时, g(x)的最小值是(a-1)2；
当a>时, g(x)的最小值是；当a= -时, g(x)的最小值不存在.
22．定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有，且当>0时，0<<1．
(1)试求的值；
(2)判断的单调性并证明你的结论；
(3)设A={}，B={,}，若AB=，试确定的取值范围．
(4)试举出一个满足条件的函数．
22．解：(1)在中，令m=1，n=0，得：
因为，所以=1．
(2)要判断的单调性，可任取，且设.
在已知条件中，若取，，则已知条件可化为.
由于>0，所以
为比较、的大小，只需考虑的正负即可．
在中，令，，则得.
∵>0时，0<<1．∴当<0时，.
又=1，∴综上可知，对于任意的，均有>0.
∴.
∴函数在R上单调递减．
(3)首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含对应法则的式子．
，即.
，即.
由AB=，得直线与圆面无公共点，所以，，解得：.
(4)如.
备用试题
1．已知定义在R上的函数满足下列三个条件：
①对任意的都有；
②对于任意的都有；
③的图象关于轴对称．则下列结论中，正确的是( ).
A．<< B．<<
C．<< D．<<
1．D 提示：因为函数的图象关于轴对称，所以的图象关于对称．又，故周期为4，所以函数对任意的都有，所以在[,0]上单调递增，所以<<．选D．
2．函数在区间[1,5]上的最大值与最小值分别为_________；_________.
2．3； 提示：设，那么

由于，所以且，
于是，即。
所以函数在区间[1,5]上是减函数，因此，最小值为，最大值为.
3．已知二次函数的图象开口向上，且以y轴为对称轴，已知=1，若点()在的图象上，且点()在函数的图象上．
(1)求函数的表达式；
(2)设，是否存在实数，使在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，求出值，若不存在，说明理由．
3．解：(1)抛物线关于y轴对称，即函数是偶函数，可求得b=0．
∵=1，故a=1，此时．
∴．
∴点()在的图象上，且点()在函数的图象上，
∴
∴，
∴，
∴.
(2)设，则
当时，，且u是x的减函数，当时，，且u仍是x的减函数．
因此，如果存在适合题意的，则必须，
当时为增函数，当时为减函数．
∴是的对称轴，即，解得=3．
当=3时，在内为减函数，在内为增函数，即=3适合题意．