北师大九年级数学下3.2垂径定理.doc

精品教育垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。一、如何运用垂径定理： 垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质，是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系 的重要依据。在解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，以构成垂径定理的基本图形 （而实际中，往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以）。 在运用垂径定理时，涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高（弦所对的弧的中点到弦的距离）h这四者之间 的关系，如图所示，它们的关系是： ， 根据这两个公式，在a，d，r，h四个量中，知道任意两个量便可求出其他两个量。典型中考题讲解：1、（2014盘锦三模）如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E， （1）求AB的长； （2）求O的半径2、 （2014浦东新区二模）已知：如图，PAQ=30，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径 作O交射线AQ于E、F两点，求： （1）圆心O到AQ的距离； （2）线段EF的长3、（2014金山区一模）如图，已知AB是O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8求O的半径4、（2014槐荫区一模）如图，在O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2 求O半径的长5、（2014天河区二模）如图，AB是O的弦，半径OA=20cm，AOB=120，求线段AB的长二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论： （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 注意：、不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、 弦、弦心距不一定相等。 、要结合图形理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则容易用错。 、在应用此定理及其推论时，首先弄清楚要求证的是哪组量相等，然后只要在除该量之外的三组量 中找到一组量相等即可。 在找相等的量时有两个技巧点：1、认真分析已知条件，看哪组量相等容易找且又能使解题简单化； 2、常常通过作辅助线构造所需要的量，常作半径、弦心距。 1、如图，在O中，=，A=30，则B=_ 1题图 2题图 3题图 2、 如图，AB是O的直径，BC，CD，DA是O的弦，且BC=CD=DA，则BCD=_3如图，已知AB、CD是O的直径，AOE=32，那么COE的度数为_度三、 圆周角定理：圆周角：一个角的顶点在圆上，角的两边分别与圆还有另一个交点，这样的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。注意：此定理的作用是得到圆周角与圆心角的数量关系，但注意不能把定理中的“一条弧所对的”丢掉， 而简单的说成“圆周角等于圆心角的一半”。也不能把“一条弧所对的”改为“一条弦所对的”。因为 一条弦所对的圆周角的度数有两种情况。圆周角定理的推论：推论一、在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。因为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以同弧或等弧所对的圆周角相等。推论二、直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。、如图所示，已知AB是O的直径，直径可以看成是顶点在圆心的一个平角， 也就是一个180的圆心角。又因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半，所以ACB90。、如图所示，已知ACB90，因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半，所以AOB180，所以AB是直径，即90度的圆周角所对的弦是直径。、利用推论一：用来确定圆周角的相等关系；利用推论二：1、得到直角，进而得到直角三角形；2、确定直径。由于直径所对的圆周角是直角，而直角三角形在几何题中有着广泛的应用，所以利用直径构造直角三角形是一种重要的方法。典型例题讲解：1 （2014黔东南州）如图，已知O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，ACD=22.5， 若CD=6cm，则AB的长为（）A、4cm B、3cm C、2cm D、2cm 1题图 2题图 3题图 4题图2、 （2014重庆）如图，ABC的顶点A、B、C均在O上，若ABC+AOC=90，则AOC的大小是（） A、30 B、45 C、60 D、703、 （2014南昌）如图，A、B、C、D四个点均在O上，AOD=70，AODC，则B的度数为（）A、40 B、45 C、50 D、554、 （2014珠海）如图，线段AB是O的直径，弦CD丄AB，CAB=20，则AOD等于（） A、160 B、150 C、140 D、120同步练习：1 （2014常州模拟）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，连接AC、AD，若CAB=35，则ADC的度数为（） A、35 B、45 C、55 D、65 1题图 2题图 3题图 4题图 5题图2 （2014武汉元月调考）如图，点A、B、C在O上，AOB=40，则ACB的度数是（） A、10 B、20 C、40 D、703 （2014遵义一模）如图，在ABC中，AB是O的直径，B=60，C=70，则BOD的度数是（） A、90 B、100 C、110 D、1204、（2014中江县一模）如图，O中，弦AB、CD相交于点P，A=40，APD=75，则B=（） A、15 B、40 C、75 D、355、 （2014新泰市模拟）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB=30，O的半径为3cm， 则圆心O到弦CD的距离为（） A、cm B、3cm C、3cm D、6cm6、（2014徐州二模）如图，在半径为5cm的O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=50，APD=80 （1）求ABD的大小； （2）求弦BD的长7、 （2013长春模拟）如图，O是ABC的外接圆，点D为上一点，ABC=BDC=60，AC=3cm， 求ABC的周长典型中考题讲解1（2014盘锦三模）如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E，（1）求AB的长；（2）求O的半径讲解2、（2014浦东新区二模）已知：如图，PAQ=30，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）过点O作OHEF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可解答：解：（1）过点O作OHEF，垂足为点H，OHEF，AHO=90，在RtAOH中，AHO=90，PAQ=30，OH=AO，BC=10cm，BO=5cmAO=AB+BO，AB=3cm，AO=3+5=8cm，OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm（2）连接OE，在RtEOH中，EHO=90，EH2+HO2=EO2，EO=5cm，OH=4cm，EH=3cm，OH过圆心O，OHEF，EF=2EH=6cm点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中讲解3（2014金山区一模）如图，已知AB是O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8求O的半径考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：连接OA，过点O作ODAB，垂足为点D，根据垂径定理求出AD，求出CD，根据勾股定理求出OD，在ADO中根据勾股定理求出OA即可解答：解：连接OA，过点O作ODAB，垂足为点D，AC=4，CB=8，AB=12ODAB，AD=DB=6，CD=2，在RtCDO中，CDO=90，OC=4，CD=2，OD=2在RtADO中，ADO=90，由勾股定理得：OA=4，O的半径是4点评：本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力讲解4（2014槐荫区一模）如图，在O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2求O半径的长考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有分析：连接OA，根据垂径定理求出AD=6，ADO=90，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可解答：解：连接AO，点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D，OCAB，AB=12，AD=BD=6，设O的半径为R，CD=2，在RtAOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AD2，即：R2=（R2）2+62，R=10答：O的半径长为10点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形后根据勾股定理得出方程讲解5（2014天河区二模）如图，AB是O的弦，半径OA=20cm，AOB=120，求线段AB的长考点：垂径定理；解直角三角形菁优网版权所有专题：计算题分析：作ODAB交AB于点D根据垂径定理得AD=BD，由OA=OB得A=B，而AOB=120，根据三角形内角和定理得到A=30，在RtAOD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OD=OA=10，AD=OD=10，所以AB=2AD=20cm解答：解：作ODAB交AB于点D，如图，则AD=BD，OA=OB，A=B，而AOB=120，A=30，在RtAOD中，OD=OA=20=10，AD=OD=10，AB=2AD=20（cm）点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了含30度的直角三角形三边的关系二、1、75 2、120 3、64三、圆周角定理1（2014黔东南州）如图，已知O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，ACD=22.5，若CD=6cm，则AB的长为（）A4cmB3cmC2cmD2cm考点：圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理菁优网版权所有专题：计算题分析：连结OA，根据圆周角定理得AOD=2ACD=45，由于3O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算解答：解：连结OA，如图，ACD=22.5，AOD=2ACD=45，O的直径CD垂直于弦AB，AE=BE，OAE为等腰直角三角形，AE=OA，CD=6，OA=3，AE=，AB=2AE=3（cm）故选：B点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理2（2014重庆）如图，ABC的顶点A、B、C均在O上，若ABC+AOC=90，则AOC的大小是（）A30B45C60D70考点：圆周角定理菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据圆周角定理得到ABC=AOC，由于ABC+AOC=90，所以AOC+AOC=90，然后解方程即可解答：解：ABC=AOC，而ABC+AOC=90，AOC+AOC=90，AOC=60故选：C点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3（2014南昌）如图，A、B、C、D四个点均在O上，AOD=70，AODC，则B的度数为（）A40B45C50D55考点：圆周角定理；平行线的性质菁优网版权所有分析：连接OC，由AODC，得出ODC=AOD=70，再由OD=OC，得出ODC=OCD=70，求得COD=40，进一步得出AOC，进一步利用圆周角定理得出B的度数即可解答：解：如图，连接OC，AODC，ODC=AOD=70，OD=OC，ODC=OCD=70，COD=40，AOC=110，B=AOC=55故选：D点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键4（2014珠海）如图，线段AB是O的直径，弦CD丄AB，CAB=20，则AOD等于（）A160B150C140D120考点：圆周角定理；垂径定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用垂径定理得出=，进而求出BOD=40，再利用邻补角的性质得出答案解答：解：线段AB是O的直径，弦CD丄AB，=，CAB=20，BOD=40，AOD=140故选：C点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出BOD的度数是解题关键同步练习：1（2014常州模拟）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，连接AC、AD，若CAB=35，则ADC的度数为（）A35B45C55D65考点：圆周角定理菁优网版权所有分析：连接BC，推出RtABC，求出B的度数，即可推出ADC的度数为解答：解：连接BC，AB是O的直径，ACB=90，CAB=35，B=55，ADC=55故选C点评：本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角2（2014武汉元月调考）如图，点A、B、C在O上，AOB=40，则ACB的度数是（）A10B20C40D70考点：圆周角定理菁优网版权所有专题：计算题分析：根据圆周角定理得到ACB=AOB，即可计算出ACB解答：解：AOB=40，ACB=AOB=20故选B点评：本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半3（2014遵义一模）如图，在ABC中，AB是O的直径，B=60，C=70，则BOD的度数是（）A90B100C110D120考点：圆周角定理；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：计算题分析：根据三角形的内角和定理先求出A，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，从而可得出答案解答：解：B=60，C=70，A=50，BOD=100，故选B点评：本题考查了三角形的内角和定理以及圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍4（2014中江县一模）如图，O中，弦AB、CD相交于点P，A=40，APD=75，则B=（）A15B40C75D35考点：圆周角定理菁优网版权所有分析：由APD=75，可知BPD的度数，由圆周角定理可知A=D，故能求出B解答：解：APD=75，BPD=105，由圆周角定理可知A=D（同弧所对的圆周角相等），在三角形BDP中，B=180BPDD=35，故选D点评：本题主要考查圆周角定理的知识点，还考查了三角形内角和为180的知识点，基础题不是很难5（2014新泰市模拟）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB=30，O的半径为3cm，则圆心O到弦CD的距离为（）AcmB3cmC3cmD6cm考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理菁优网版权所有专题：计算题分析：根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知COB=2CDB=60，已知半径OC的长，即可在RtOCE中求OE的长度解答：解：连接CBAB是O的直径，弦CDAB于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；COB=2CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），CDB=30，COB=60；在RtOCE中，OC=3cm，OE=OCcosCOB，OE=故选A点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解6、（2014徐州二模）如图，在半径为5cm的O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=50，APD=80（1）求ABD的大小；（2）求弦BD的长考点：圆周角定理；垂径定理菁优网版权所有分析：（1）先根据三角形外角的性质求出C的度数，由圆周角定理即可得出结论；（2）过点O作OEBD于点E，由垂径定理可知BD=2BE，再根据直角三角形的性质可求出BE的长，进而得出结论解答：解：（1）APD是APC的外角，CAB=50，APD=80，C=8050=30，ABD=C=30；（2）过点O作OEBD于点E，则BD=2BE，ABD=30，OB=5cm，BE=OBcos30=5=cm，BD=2BE=5cm点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键7、（2013长春模拟）如图，O是ABC的外接圆，点D为上一点，ABC=BDC=60，AC=3cm，求ABC的周长考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：根据圆周角定理可以证明ABC是等边三角形，据此即可求得周长解答：解：=，BDC=BACABC=BDC=60，ABC=BAC=60，ACB=60ABC=BAC=ACB=60ABC为等边三角形AC=3cm，ABC的周长为33=9（cm）点评：本题考查了圆周角定理以及等边三角形的判定定理，根据圆周角定理找出图形中相等的角是关键-可编辑-