2015届高三数学理科周练.doc

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2015届高三理科周练
1．命题“x>2，x2+ax+1<0” 的否定是 ．
2．已知全集，，，则 ．
3．函数f（x）＝ 的定义域是 ．
4、设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为__________.
5、已知为实数，直线,则是的 条件
6．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．
7．已知，且，则的值为 ．
8．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为 ．
9．设A、B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，OA⊥OB，A点的横坐标是－1，则B点的横坐标为________．
10．已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=________．
11．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，平面，，则该球的体积为 ．
12．设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
13、设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是__________
14．已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是 ．
二、解答题
15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， ＝8，
∠BAC＝θ，a＝4，
(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的最值．

16．（14分）如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

17．（14分）如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知
AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．

18．（16分）设是公差不为零的正项等差数列，为其前项的和，满足
,，，成等比数列.
⑴求数列的通项公式；
⑵设令，为数列的前项的和，若，求的值.

19．（16分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
M
x
y
T
G
P
O
N
A1
A2
B1
B2
F1
F2
（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，
分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G
相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

20、（16分）设函数,,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.

附加题
21、(10分）已知矩阵A的逆矩阵A，求矩阵A的特征值．
22、（10分）在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

23 （10分） 如图，圆锥的高，底面半径，为的中点，为母线的中点，为底面圆周上一点，满足．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．

24、（10分）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.

2015届高三数学理科周练参考答案

1．命题“x>2，x2+ax+1<0” 的否定是 ．
2．已知全集，，，则 ．
3．函数f（x）＝ 的定义域是 ．（0，3］
4．设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为__________.
5、已知为实数，直线，，则“”是“”的 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个）．充分不必要
6．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．
7．已知，且，则的值为 ．
8．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为 ．2
9．设A、B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，OA⊥OB，A点的横坐标是－1，则B点的横坐标为_____16___．
10．已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则
α=________．
11．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，平面，，则该球的体积为 ．
12．设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
13．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是__________
14．已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是 ．(，]
二、解答题
15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， ＝8，∠BAC＝θ，a＝4，
(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的最值．
解：(1)∵＝8，∠BAC＝θ，∴bccosθ＝8.
又a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42
即b2＋c2＝32. 又b2＋c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16.
而bc＝，∴≤16，∴cosθ≥，∵0<θ<π，∴0<θ≤.……..……………7分
(2)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－＝[1－cos(＋2θ)]＋1＋cos2θ－
＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1
∵0<θ≤， ∴<2θ＋≤ ∴≤sin(2θ＋)≤1.
当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)min＝2×＋1＝2.
当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)max＝2×1＋1＝3. ……..……………14分
16．（14分）如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，
且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:GH∥平面CDE；
（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.
证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，
∴中，， ∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD ∴，
又∵
∴平面 ……..……………7分
⑵，所以，
又因为四边形为正方形，，
，，-
∴. ……..……………14分
17．（14分）如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．

解：（1）如图，过E作，
垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有，，，
所以
=80+-60tanα（其中……..……………7分
（2）W
． 设，
则．
令得，即，得．
列表

+
0
-

单调递增
极大值
单调递减
所以当时有，此时有．
答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． ………………… 14分
18．（16分）设是公差不为零的正项等差数列，为其前项的和，满足
,，，成等比数列.⑴求数列的通项公式；⑵设令，为数列的前项的和，若，求的值.
解：⑴………………………………..6分
⑵

.………………………………..16分
19．（16分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.
M
x
y
T
G
P
O
N
A1
A2
B1
B2
F1
F2
解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，
即mx－2my－2m2＝0．
所以 ＝，解得m＝1．
所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1． ………………… 5分
（2） 由得E(，)，F(－，－)．
又F2(，0)，所以＝(－，)，＝(－－，－)，
所以·＝(－)×(－－)＋×(－)＝＞0．
所以∠EF2F是锐角． ………………… 10分
（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0),
直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；
直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；
解法一:设圆G的圆心为((－)，h),
则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2．
OG2＝(－)2＋h2．
OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝．
而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 16分
解法二:OM·ON＝|(－)·|＝,
而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4．
由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 16分
20、解:(1)由即对恒成立,∴
而由知<1 ∴ ，由令则
当<时<0,当>时>0, ∵在上有最小值
∴>1 ∴> ，综上所述:的取值范围为 ………………… 5分
(2)证明:∵在上是单调增函数
∴即对恒成立, ∴
而当时,> ∴ ………………… 7分
分三种情况:
(Ⅰ)当时, >0 ∴f(x)在上为单调增函数
∵ ∴f(x)存在唯一零点
(Ⅱ)当<0时,>0 ∴f(x)在上为单调增函数
∵<0且>0
∴f(x)存在唯一零点 ………………… 10分
(Ⅲ)当0<时,,令得
∵当0<<时,>0;>时,<0
∴为最大值点,最大值为
①当时,,,有唯一零点
②当>0时,0<,有两个零点 ，实际上,对于0<,由于<0,>0
且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点
另外,当,>0,故在上单调增,∴在只有一个零点
下面考虑在的情况,先证<0 为此我们要证明:当>时,>,设 ,则,再设
∴ 当>1时,>-2>0,在上是单调增函数 故当>2时,>>0
从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0 即当>时,>,
当0<<时,即>e时,<0
又>0 且函数在上的图像不间断,
∴函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点
综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为

21、(10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵A的特征值．
，………… 5分
特征值………… 10分 （直接求逆矩阵的特征值的倒数也可）
22、（10分）在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令，得 3分
∴圆的圆心坐标为（1，0） 5分
∵圆经过点，
∴圆的半径为 8分
∴圆经过极点 10分∴圆的极坐标方程为 12分
23 （10分） 如图，圆锥的高，底面半径，为的中点，为母线的中点，为底面圆周上一点，满足．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．
(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则
B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．
设F(x0，y0，0)(x0>0，y0>0)，且＋＝4，
则＝(x0，y0－1，－2)，＝(0，1，0)，
∵EF⊥DE，即⊥，则·＝y0－1＝0，故y0＝1.
∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．
设异面直线EF与BD所成角为α，则cosα＝.
(2)设平面ODF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
令x1＝1，得y1＝－，平面ODF的一个法向量为n1＝(1，－，0)．
设平面DEF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
同理可得平面DEF的一个法向量为n2＝.
设二面角ODFE的平面角为β，则|cosβ|＝＝.∴sinβ＝.
24、（10分）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
解;第一问4分，第二问6分。
（1）设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A，则．
所以取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为．
（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4
，，，，
所以随机变量X的分布列是

1
2
3
4
P

随机变量X的数学期望．

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