高中数学知识点总结之三角函数篇.doc

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第三章　三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、必记3个知识点
1．角的概念
(1)分类
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
二、必明3个易误区
1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝π rad进行互化时，易出现度量单位的混用．
3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
三、必会2个方法
1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；
2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．
考点一
角的集合表示及象限角的判定
1.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个
解析：选C　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．设集合M＝，N＝，那么(　　)
A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选B　法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
3．终边在直线y＝x上的角的集合为________．
解析：终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．答案：{α|α＝kπ＋，k∈Z}
4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
答案：－675°或－315°
[类题通法]
1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
考点二
三角函数的定义
[典例]　(1)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cos α＝x，则sin＝________.
[解析]　(1)由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
(2)由题意得cos α＝＝x，解得x＝0或x＝或x＝－.
又α是第二象限角，∴x＝－.即cos α＝－，sin＝cos α＝－.
[答案]　(1)D　(2)－
[类题通法]
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
[针对训练]：已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝＝|k|.当k>0时，r＝k，
∴sin α＝＝－，＝＝，∴10sin α＋＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，∴sin α＝＝，＝＝－，
∴10sin α＋＝3－3＝0.综上，10sin α＋＝0.
考点三
扇形的弧长及面积公式
[典例]　已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
[解]：设圆心角是θ，半径是r，则⇒(舍)，故扇形圆心角为.
[类题通法]
弧度制应用的关注点
(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．
(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
[针对训练]：已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.
解：设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝，得r＝4 cm，∴l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
课后作业
[试一试]
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　A　)
A．第一或第三象限　　　 　B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
2．已知角α的终边经过点(，－1)，则sin α＝________.答案：－
[练一练]：若sin α<0且tan α>0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C　由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．
[做一做]
1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　)
A．(cos θ，sin θ)　　　　　 　B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A　由三角函数的定义知P(cos θ，sin θ)，选A.
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1或4 B．1
C．4 D．8
解析：选A　设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得解得或
故扇形的圆心角的弧度数是4或1.
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
解析：选A　∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2<a≤3.故选A.
4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
解析：2 010°＝π＝12π－，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.答案：
5．(2014·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．
故此三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形
6．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的三角函数值．
解：∵θ∈，∴－1<cos θ<0，∴r＝＝－5cos θ，故sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
7．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是(　　)
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析：选C　易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角．
8．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
解析：选D　因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝.
9．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
10．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④，其中符号为负的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
解析：选C　sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
＝，sin>0，tan<0，∴原式>0.
11．在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，)．答案：(－1，)
12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.
解析：因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.答案：－
13．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得∴圆心角α＝＝2.如图，过O作OH⊥AB于H.则∠AOH＝1弧度．∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB＝2sin 1(cm)．

三角函数
1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

2. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

3. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

（x，y）作图象。

5. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

6. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

7. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：

图象？

8. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

9 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

10. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

11. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

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