高中数学选修2-2-2-3知识点.doc

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高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
知识点：
一． 导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数在处的瞬时变化率是，
我们称它为函数在处的导数，记作或，
即=
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切。容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即
3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作,即
考点：无
知识点：
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若(c为常数)，则；
2 若,则;
3 若,则
4 若,则;
5 若,则
6 若,则
7 若,则
8 若,则
2）导数的运算法则
1.
2.
3.
3）复合函数求导
和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数

考点：导数的求导及运算
★1、已知，则
★2、若，则
★3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（　　　）

★★4.过抛物线y=x2上的点M的切线的倾斜角是（）
A.30° B.45° C.60° D.90°
★★5.如果曲线与在处的切线互相垂直，则=
三.导数在研究函数中的应用
知识点：
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间单调递增；
如果，那么函数在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数的极值的方法是:
(1) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
(2) 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数在上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数在内的极值；
（2） 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用
一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）
A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
C.（2，8） D.（－，－）
★2.曲线，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
二、题型二：导数在单调性中的运用
★1.(05广东卷)函数是减函数的区间为( )
A. B. C. D.
★2．关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．在区间（，0）内，为增函数 B．在区间（0，2）内，为减函数
C．在区间（2，）内，为增函数 D．在区间（，0）内,为增函数
★★-2
2

O
1
-1
-1
1
3．(05江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（ ）

O
-2
2

1
-1
-2
1
2
O

-2
-2
2
1
-1
1
2
O
-2
4

1
-1
-2
1
2
O
-2
2

-1
2
4
A
B
C
D

★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当
（Ⅱ）当时，讨论的单调性．
三、导数在最值、极值中的运用：
★1.（05全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（ ）
A．2 B. 3 C. 4 D.5
★2．函数在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；（2）求的单调区间和极大值；
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数，已知为的极值点。
（1）求的值；
（2）讨论的单调性；
第二章 推理与证明
知识点：
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括　
　 ⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
考点：无
第三章 数系的扩充与复数的引入
知识点：
一:复数的概念
(1) 复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式
⑴
⑵
⑶
⑷
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3．复数运算
⑴复数加减法：；
⑵复数的乘法：；
⑶复数的除法：

（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）
4.常见的运算规律

设是1的立方虚根，则，
考点：复数的运算
★山东理科1 若（为虚数单位），则的值可能是
（A） （B） （C） （D）
★山东文科1．复数的实部是（ ）
A． B． C．3 D．
★山东理科（2）设z的共轭复数是，若z+=4, z·＝8，则等于
（A）i　　　　　　　（B）-i (C)±1 (D) ±i

高中数学 选修2－3知识点
第一章 计数原理
知识点：
1、 分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。
3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示。

5、公式：，

6、 组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7、公式：

8、二项式定理：
9、二项式通项公式
考点：1、排列组合的运用
2、二项式定理的应用
★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同
学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团。若
每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同
学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 （ ）
A．72 B．108 C．180 D．216
★★2．在的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有 （ ）
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
★★3．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是
A．420 B．560 C．840 D．20160
★★4．把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为
★★5．的展开式中的系数为 （ ）
A．-56 B．56 C．-336 D．336
第二章 随机变量及其分布
知识点：
1、 随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、 离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn
X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … 　；② p1 + p2 +…+pn= 1．
5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：

其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布

6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
则它取值为k时的概率为，
其中,且
7、 条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、 公式：

9、 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

10、 n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 （其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
13、两点分布数学期望：E(X)=np
14、 超几何分布数学期望：E（X）=.
15、 方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +......+（xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。
16、集中分布的期望与方差一览：

期望
方差
两点分布
Eξ=p
Dξ=pq，q=1-p
超几何分布

D（X）=np（1-p）* （N-n）/（N-1）
（不要求）
二项分布，ξ ～ B（n,p）
Eξ=np

Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）

几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)

17.正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数

的图像，其中解析式中的实数是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.
③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
19. 3原则：
从上表看到,正态总体在 以外取值的概率 只有4.6%,在 以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
考点：1、概率的求解
2、期望的求解
3、正态分布概念
★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时，才可以继续参加科目 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目成绩合格的概率均为，每次考科目成绩合格的概率均为。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为。
(1)求的分布列和均值；
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
★★★2（本小题满分12分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1）求=0对应的事件的概率； （2）求的分布列及数学期望。
★★★3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。
（1）随机从中取出2个球，表示其中红球的个数，求的分布列及均值。
（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖100元，第二个奖200元，…，第个奖元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。
第三章 统计案例
知识点：
1、 独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为： 　　

y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
　若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） 　　K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关
2、 回归分析
回归直线方程  
其中,
考点：无

-可编辑-