数学物理方程课件_第四章.pdf

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结Classification and Summary of Second-Order Linear PDE齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-31/56目录n二阶线性方程的分类h二阶线性方程的特征理论h三类方程的比较先验估计齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-32/56学习要求J掌握两个自变量二阶线性PDE分类的原则；J掌握三种类型方程的标准形式及其化简过程;J掌握二阶线性方程的特征理论；a理解三种类型方程的差异；j 了解先验估计法.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-33/56n二阶线性方程的分类二类方程用j先验估计齐海涛（SD U）数学物理方程 2012-10-3 4/56两个自变量的方程若用（XJ）记自变量，一般的二阶线性偏微分方程可写成如下的形状+2112孙+aUyy+blUx+b2Uy+cu=f,（1.1）其中ail,死2,。22,历，b2,c及/都是变量x和在区域Q中的连续可 微函数，且211,牝2及122不同时为零.我们希望通过自变量的适当的可逆变换及未知函数的适当的可逆线性变 换，将方程（1.D的形式进行化简，并在此基础上对方程进行分类.这种通 过自变量或未知函数的可逆变换将方程的形式化简的方法，在ODE中曾经大量 使用过，它也是研究PDE的一个常用的方法.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-34/56两个自变量的二阶线性方程的化简引入自变量的变换1=D，=L),(1.2)假定变换(1.2)二次连续可微，且Jacobi行列式半2=&5(1.3)D(x,y)7x%在区域Q中的某一点(刈,见)不为零.根据隐函数存在定理，变换(1.2)至 少在(比J0)的一个邻域中是可逆的.利用变换(1.2),方程(1.1)化成关 于自变量1和的偏微分方程Q11U电+2a+122 沏+C=/(1.4)齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-35/56两个自变量的二阶线性方程的化简由复合函数的求导法则，有x=+沏,“y=Uggy+UjjT/y,0.此时方程(1.9a)及(1.9b)右端取相异的实值，故(1.8)的积分曲线为两族不相同的实曲线 31(x,y)=C及32(XJ)=C.假设(plx及(fly，S2x及92y均不同时为零，则 变换f=S2(XJ)(1.10)是可逆变换(Jacobi行列式不等于零).由上述，此可逆变换可将方程(1.4)中的1,522化为零，再注意到可逆的自变数变换决不能将一个二阶PDE退 化为一个一阶PDE,因此此时必有无2 W0.于是此时(1.4)可化为Ug1=A+B u”+Cu D(1.11)的形式，其中A,B,C,D为卷”的函数.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-39/56两个自变量的二阶线性方程的化简如在(1.11)式中再作自变量的变换4=*+，)，=排一)，则方程(1.11)进一步化为uss U A US+B Uf+Cu+(1.12)的形式.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-310/56两个自变量的二阶线性方程的化简(2)在点(Xojo)的附近=片2 一死1。22三0,并且412,122不全 为零.此时(1.7)式化为完全平方(+V 22y)2=。，故只有一族实特征曲线，记为3i(xj)=c.选取4=3i(xj).由于三0,万12=+&)+。22标小=(V ll&+V 22)(V nx+722)=。，因此万11及万12同时为零.再适当选一函数=S2(XJ),使31，W2函数无 关，则通过变换(1.10),方程(1.1)就化为齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-311/56两个自变量的二阶线性方程的化简422 4磔+B un+Cu+D 的形式.由于此时522丰0,故方程化为与=41雁+B U4+CU+D.(1.13)在方程(1.13)中，还可再作未知函数的可逆线性变换v=exp(B,r)drj,就得到关于v的方程VjT=42岭+C2V+D?,(1.14)其中不再出现对的一阶偏导数项.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-3 12/56两个自变量的二阶线性方程的化简(3)在点(xojo)的附近=说2-。11。22 V o.此时不存在实特征线，特 征方程(1.8)通过积分只能是复函数.假设w(x,y)=(Pi(x,y)+iw2(xj)=C是(1.9a)式的一个通积分，即满足/1外=-(%2+二并且%，均不同时为零，这里Si,2是实的函数，则z=“(xj)满足或+2a12(px(py+a22(Py=0.为了限于在实的范围中考虑问题，做如下变换g=Re”(xj)=%(xj),=Ims(xj)=W2(xj).(L 15)易证，这是一个可逆的变换.事实上，因为s(xj)=c满足(1.9a)式，故齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-313/56两个自变量的二阶线性方程的化简。11。22-说2 W广=-112+i(1.16)分离实部与虚部，得牝1&=一。12 3+牝1%=一牝2%-一/23(L16)因为假设 v 0,故死1 W 0,从而变换（1.15）的Jacobi行列式为&5y小%一 ai2（婷+总.它不能为零.否则就有多=%=0,再由（1.16,）就得到&=/=0,从 而%=%=0,但这与s的假定不符.因此变换（1.15）是一可逆变换.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-314/56两个自变量的二阶线性方程的化简由于3=+i满足（1.7）,代入后再将实部与虚部分开，就得到allx+2。121a+422 婷=成+2al2私办+122；，111&3+3%）+。22氤4y=。.即511=522,无2=0.因此方程（L1）就化为Ugg+=4ug+B u,+Cu-p D（1.17）的形式.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-315/56方程的分类从以上的讨论知道，方程（1.1）主部的系数组成的判别式的符号在方 程的化简中起着重要的作用，据此我们可将方程加以分类.若方程（1.1）在区域Q中的一点（比,四）满足=12 0,则称方程在点（Xojo）为双曲型的（hyperbolic）;若在点（xojo）满足 111122=,则称方程在点（Xo Jo）为抛物型的（parabolic）;若在点（x0,）满足=谥2-。11。22 0内，它 化为dx i y/ydy=0,n x 作变换=X,=前3/2,原方程化为d2u d2u 1 du-1-1-能2 劭2 3 dr/(1.20)齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-320/56方程的分类在双曲型区域yvO内，特征方程化为2dx y-yy=0,=x （-）3/2=c.O作变换f=x-御-歹）3/2,=1+玄_歹）3/2,原方程化为d2u 1/du du 0ddx 6（专-）能劭）（1.21）齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-321/56方程的分类引入方程（1.1）的主部系数所组成的对称矩阵A=l刃2 /2。22 y并记其特征值为21和也，则易知心也=deU=于是若方程在一点（租,为）为双曲型，则心，也异号；若方程在点（比,加为抛物型，贝U心，也中只有一个为零（因。12,念2不同时为零）；若方程在点（X0/0）为 椭圆型，则Ai,也同号.引入二次型4（4）=吊+2al2右也+22 年,则方程在一点（乱,加）的分类准则可表述为：若二次型4（2）为正定或负定，则方程为椭圆型；若省用为退化，则方程为抛物型；若4（2）不是正定或负 定，又非退化，则方程为双曲型.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-322/56多个自变量的方程的分类考察多个自变量的二阶线性偏微分方程，其形式为Zdu yn 7 du:诉+1仇嬴+。”工(1.22)其1%/,bi，C及f是H维空间（X1,X2,中某区域Q上的适当光滑的 函数，且 Cljj=dji，齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-323/56多个自变量的方程的分类D efinition 1.3设方程（1.22）在某点0后,），其二次型“（，）=徇（尸）也为z4=l为正定或负定（矩阵（徇）的特征根的符号完全相同），则称方程在点P为椭圆 型的；如A（A）在P点为退化的（矩阵（徇）的特征根中至少有一个为零），则 称方程在点P为抛物型的；如4（4）在P点既不为退化，也不为正定或负定,但矩阵（劭）的特征根中有n-1个同号，则称方程在点P为双曲型的.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 24/56n二阶线性方程的分类二阶线性方程的特征理论二类方程用j先验估计齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 25/56特征理论D efinition 2.1（弱间断解）对一个具有n个自变量的二阶方程，若有一函数u在某个n维区域内有一阶 连续偏导数，且在此区域内除了一个（-1）维光滑曲面S外，有二阶连续偏 导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上的左右极限均存在（具 有第一类间断），则称函数为方程的弱间断解.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 25/56特征理论D efinition 2.1（弱间断解）对一个具有n个自变量的二阶方程，若有一函数U在某个n维区域内有一阶 连续偏导数，且在此区域内除了一个（-1）维光滑曲面S外，有二阶连续偏 导数，并处处满足方程，同时u的二阶偏导数在S上的左右极限均存在（具 有第一类间断），则称函数为方程的弱间断解.弱间断解从物理的角度看是合理的，如弦振动方程满足初始条 件（羽。）=俨”%I的解，在x-H=l处有弱间断.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-325/56特征理论在n维空间（町/2,.,加）的某区域。上，考察如下一般的二阶线性方 程d2u 三 du（.他诉+，诟+。”工。其中ay,bi,。及/为（町,12,，与）的已知函数.n/0 2问题：在超曲面（S（X1,X2,，与）有二阶连续偏导数，且2（赛）W0恒 成立）iS:“（Xi,陶，X”）=0（2.2）上给定函数u及其所有一阶偏导数的值，可否利用这些值及方程1）唯一 地决定U的二阶偏导数？齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-326/56特征理论（1）考察S为坐标超平面/=0的特殊情形.若在S上及其一阶偏 导数 斐0=1，-，）之值为已知的（凡,为一1）的函数，则二阶偏导数 普（z=l,.7=1,.,-1）在S上的值可通过将 F 对Xj求导而 OXiOXj OXiJ2 M唯一决定.若 加7al，,W 0,则 瓦在S上的值是唯一的.而若nns=arm（11，一，X”-1,。）二,3）就不能在S上唯一地决定出的一切二阶偏导数.故3）就是坐标超平 面/=0可能成为方程 1）的某个弱间断解的弱间断面的条件.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-327/56特征理论(2)考察一般情形(2.2).对任意的刈=尺二.,q5存在可逆变换 旨=gzGl,，Xn),(/=1,将%0变为专国标中的原点,而将X。在S 上的一个邻域变换到坐标中原点在&=0的一个邻域上.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-328/56特征理论（2）考察一般情形（2.2）.对任意的刈=尺二.,q5存在可逆变换 旨=gzGl,，Xn）,（/=1,将%0变为专国标中的原点,而将X。在S 上的一个邻域变换到坐标中原点在&=0的一个邻域上.Proof.在超曲面（2.2）上，有（券,.一券）1。0,于是至少有某个/（IW/Yh）,X=Xq使韶 W0.不妨设j=n,令 OXj x=Xq Jgi=Xj-Xj-1）,Jn-3（X1,.,x），（2.4）此变换将Xo变换为g坐标中的坐标原点，且其在比点的Jacobi行列式 祟W0,因而它是在比邻域中的一个可逆变换，并将超曲面 2）变换 为坐标超平面盘=0.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-328/56特征理论在坐标变换4）下,有du 弋du畋 dxi 之谎k4:y 4知徨+的一阶偏导 dxidxj 上、焚kda dxi dxj于是方程1）就化为v-on/J akl 也+f 5)自畋砥的形式，其中被省略的项仅包含及的一阶偏导数，而-V 优k d&（、融1=九 t.6）1如的齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-329/56特征理论由（2.3）,就得到比在S上的邻域可能成为（2.1）的某个弱间断解的 弱间断面的必要条件为万加（a,一，&-1,0）=o,V=0-a dxi 的%=0注意到4）式的最后一式，上式可写为，存黑=。（2.7）在S上租的一个邻域中成立.由于比是S上的任一点，就得到：在S上 成立7）式是S可能成为1）的弱间断解的弱间断面的必要条件.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-330/56特征理论D efinition 2.2（特征曲面）如果在n维曲面S:（%1,.=0上每一点成立2脸”则称曲面S为方程（2.1）的特征曲面.D efinition 2.3（特征方向）对于一个固定点xo,如果过该点的方向l=（0i,0”）满足特征方程n）:力%=0,g8）则称1为此点xo的特征方向.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 31/56特征理论由于(黑，器)表示曲面以对3)=0的法向,所以特征曲面也就 是每点的法向为特征为向的曲面.D efinition 2.4(特征平面、特征锥面)称过一点以特征方向为法线方向的维超平面为该点的特征平面；称过一固定点的所有由特征平面包络所成的锥面为过此点的特征锥面.给一单参数曲面族5a:厂(xj,z,a)=0,其中厂(xj,z,a)具有二阶连续 偏导，。为参数.当。变化时，得到曲面族中不同的曲面S0.如有一曲面 S,它的每一点是Sa族中一个曲面Sa的点，而且在S与Sa的公共点，它 们有相同的切平面.反过来对Sa族中每一个曲面Sa，在曲面S上有一点 心，使义与S在几点有相同切平面，则S成为单参数曲面族S。的包 络.联立F(x,y,z,a)=0和Fa(x,y,z,a)=0消去参数a所得曲面(p(x,y,z)=0即为包络面.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-3 32/56二阶线性方程的特征理论三类方程的比较先验估计齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 33/56线性方程的叠加原理D efinition 3.1线性算子Z:指算子L满足可加性条件L CU+。2上“2,（3.1）其中Cl,C2为任意给定的常数.如L是线性微分算子，则方程=/称 为线性微分方程.特别地，当了三。时，方程L u=0是齐次的.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-333/56线性方程的叠加原理叠加原理I设为满足线性方程（或线性定解条件）L Uj fi（/=1,.,77）,则它们的线性组合u=f Cm必满足方程（或定解条件）i=l=X。办 i=l特别地，当为 0=1,.,）满足齐次方程（或齐次定解条件）时，U也满足 此齐次方程（或齐次定解条件）.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 34/56线性方程的叠加原理叠加原理II设为满足线性方程（或线性定解条件）L uj fi（i=1,2,.）,oo又假设它们的线性组合u=2 G”满足一定的条件，那么U满足方程（或定解条件）TOOL u=Z Cifi.i=l特别地，当（z=l,2,.）满足齐次方程（或齐次定解条件）时，u也满足 此齐次方程（或齐次定解条件）.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 35/56线性方程的叠加原理叠加原理in设“（MM）满足线性方程（或线性定解条件）L u=Mu）,其中为参数.又假设U（M=f 满足一定的条件，那么U（M）满足方程（或定解条件）L U=特别地，当u满足齐次方程（或齐次定解条件）时，U也满足此齐次方程（或齐次定解条件）.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 36/56解的性质的比较解的光滑性J对弦振动方程，由d，Alembert公式知，如初始位移的三阶导数不存在，解的三阶导数也不存在；a对热传导方程，如初始条件“（X）是有界的，解u（x,t）在方0时是无穷 次可微的；且当/固定时，解是空间变量的解析函数；。对Laplace方程，其任何连续解在定义域内是解析函数.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-337/56解的性质的比较解的极值性质J波动方程通常不存在极值原理；热传导方程和Laplace方程都存在极值原理（对Laplace方程，如解不 是常数，极值在边界上达到；对热传导方程，极值在抛物型边界上达 到.）.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-338/56解的性质的比较影响区域与依赖区域a对三维波动方程，初始时刻一点的影响区域是已该点为顶点向上作出的特 征锥的锥面；一点的依赖区域是以该点为顶点向下作出的特征锥与平面/=0所交的球面；J对热传导方程，初始时刻一点的影响区域是该点以上的整个平面；一点的 依赖区域就是整个直线/=0;a对Laplace方程，根据调和函数的解析性定理，在边界曲面上任意小部 分的影响区域必是整个区域.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-339/56解的性质的比较关于时间的反演-物理状态变化过程的可逆性。Laplace方程无关于时间的反演问题；J波动方程是一个可逆过程；a热传导方程是不可逆的.D efinition 3.2设在某些外界条件下按某种规律变化的一物理状态，在时间h时处于状态4 到时间h时变为状态B-,如果在时刻的状态B可以沿着相反的变化过程 回复到原来的状态4而外界条件不发生其他的变化，则这物理状态的变化过 程是可逆的，否则是不可逆的.一物理状态的变化过程是否可逆在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变 量/是否是对称的，即以T代替/后方程是否不变.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 40/56解的性质的比较解的渐进性态o对在有界区间0,7上具齐次第一类或第二类边界条件的波动方程的初边 值问题，其能量守恒，解不衰减；（P18,P44习题4）对n维波动方程初值问题（初值具有紧支集），解及其偏导数以广等的 衰减率趋于零；（P36）J对热传导方程初边值问题，解以指数衰减率趋于平衡态；（P66）口对维热传导方程初值问题，解以产的衰减率趋于平衡态.（P67）齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-341/56定解问题提法的比较将弦振动方程，一维热传导方程及二维Laplace方程分别写成如下形式/d2u d?U du c/序 U c何一万二s而一五二，府+前二0在xOy平面的区域OWxWa,0yb上考虑以上方程的定解问题，其定解 问题的提法可用下图表示.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-342/56定解问题提法的比较将弦振动方程，一维热传导方程及二维Laplace方程分别写成如下形式/d2u d?U du c/序 U c何一万二s而一五二，府+前二0在xOy平面的区域OWxWa,0yb上考虑以上方程的定解问题，其定解 问题的提法可用下图表示.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-342/56定解问题提法的比较将弦振动方程，一维热传导方程及二维Laplace方程分别写成如下形式/d2u d?U du c/序 U c何一万二s而一五二，府+前二0在xOy平面的区域OWxWa,0y 0,dxz dyz(3.6)W|yQ 0,Uyy=Q-Sill 77X,=|%=不=0.(3.7)齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 43/56定解问题提法的比较利用分离变量法可得问题(3.6),(3.7)的唯一解为Example 3.3(Hadamard 反例)d2u d2u研+后=，0、20，(3.6)Q 0,Uyy=Q-Sill 77X,=|%=不=0.(3.7)jun(x,y)=叶sin nx sh ny.但考虑到方程6)满足如下齐次初始条件与边界条件Uy=Q=Uyy=Q=HX=Q=Ux=7T=0(3.8)的解为o(xj)=O,知问题(3.6),(3.7)的解并不稳定.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-343/56定解问题提法的比较Example 3.4(弦振动方程 D irichlet 问题)1u d2u丽=(3.9)(吟,0)=力(0 67),1(。，)=力(0M W%,|吟=力(0 a),=力()(0 7/b),(3.10)力（0）=为（。），=%（。），力（0）=f2/（。）=，）.1齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-344/56定解问题提法的比较Example 3.4(弦振动方程 D irichlet 问题)(3.9)福一审=丽=(虞 0)=/(。，)=力()隔月=%(。，)=力()(0 67),(0 Z/6),(0 67),(0 77 0,(4.2)则成立max u=max u.(4.3)q r齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-346/56椭圆型方程解的最大模估计Theorem 4.2设z/eC2(Q)nC(Q)是问题(4.1)的解，则成立max W +CF,(4.4)Q其中=111乂3(1)|,F=sup|/(x)|,而C是只依赖于H与的正常数.r o齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-347/56热传导方程解的最大模估计设为w中具有光滑边界r的有界区域，研究热传导方程在区域=Q x(0,T)上的初边值问题，Ut-=/(%,/),ut=Q=s(x),、lrx(o,7)=g(,(4.8)Theorem 4.3(最大模估计)设U 6 C2(Qr)n C(Qr)是问题(4.8)的解，则成立rnax u FT+B,(4.9)Qt其中F=sup|/,B=maxmax(p,max|g|.nT xeQ xer,0tT齐海涛(SD U)数学物理方程 2012-10-3 48/5 6双曲型方程解的能量估计设Q为股中的有界区域，且具有光滑边界r,在区域Qt=x(0,T)中考察二阶双曲型方程n nUtt-X 徇为沔+X bi(x,t)Uxi+b0(x,t)ut+c(x,t)u=fx,t).(4.12)ij=，=1作如下假设：a系数徇，bi，bo,C及右端项f都是Qt上的连续函数，而且他在Qt 上具有一阶连续偏导数.对一切i,j=1,.,n,成立ay=aji,且存在正常数。0,使得对一切(x,。及任意给定的实向量(立,.,&),成立n nX 劭(X)触 2。2 M (4.13)犷=i i=i齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-349/56双曲型方程解的能量估计现给定如下的初始条件及边界条件:/=0:u=w(x),ut=(x),x g Q,(4.14)uT=0,(4.15)其中=r x(0,T)为区域Qt的侧边界.对初边值问题(4.12),(4.14)及(4.15)的解引入能量函数n+X传/%Jdx,可=1(4.16)则成立以下估计式齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-350/56双曲型方程解的能量估计Theorem 4.4（F riedrichs 不等式）设=ux）在有界区域上连续可微，且在边界r上为零，则成立如 下 Friedrichs 不等式：C/dx Co r 32 4dx,（4.22）其中Co是一个与u无关的正常数.齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 51/56双曲型方程解的能量估计Theorem 4.4(F riedrichs 不等式)设=ux)在有界区域上连续可微，且在边界r上为零，则成立如 下 Friedrichs 不等式：C/dx Co r 32 4dx,(4.22)其中Co是一个与u无关的正常数.Theorem 4.5(双曲型方程解的能量估计)若ux,t)为初边值问题(4.12),(4.14)及(4.15)的解，能量函数按(4.16)定义，则成立能量估计式E(t)(0)户+Ccct f f/2dxd/,0 /T,(4.17)Jo Jq其中C为一个不依赖于u的正常数.齐海涛(SD U)数学物理方程 2012-10-3 51/56抛物型方程解的能量估计在=。x(0,T)上考察如下二阶抛物型方程 n n%一 X。为沔+X 伍(X)%+c(x,tu=/(x,，)，(4.26)ZJ=1 i=l其中对于系数及右端项仍按对双曲型方程的假设.现给定如下的初始条件及边 界条件：t=0:u=s(x),x Q,(4.27)uT=0.(4.28)齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-352/56抛物型方程解的能量估计Theorem 4.6（抛物型方程解的能量估计）若ux,t）为初边值问题（4.26）-（4.28）的解，（，）=：f/dx,则成立能量 2 Jq估计式,石 （0）eCz+eQ f f/2dxdZ,0 t 0,使得对一切 xe。及任意给定的实向量 岛.,当）,成立n nX 砧X)的 Na2M.(4.38)齐海涛（SD U）数学物理方程2012-10-3 54/56椭圆型方程解的能量估计考察方程(4.37)满足边界条件hy=0(4.39)的Dirichlet问题，有Theorem 4.7(椭圆型方程解的能量估计)存在一个仅依赖于区域0 a以及愣I，b“a的最大值的正 常数Ao,在c(x)dx,(4.40)其中C为一个不依赖于u的正常数.齐海涛(SD U)数学物理方程2012-10-355/56